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一、递推方程解与特征根之间的关系定理
特征根 与 递推方程的解 之间是存在关系的 , 如果知道了这个内在联系 , 就可以 根据特征根 , 写出递推方程的解的模式 , 即 通解 ;
递推方程解与特征根相关定理 :
q 是非
0 复数 , 则有以下等价关系 :
q 是特征方程的特征根
\Leftrightarrowq^n 是递推方程的解 ★
证明上述定理 :
按照定义 , 将 递推方程的解
q^n , 代入原来的递推方程 ,
递推方程的解是
q^n , 代表了 第
n 项的值是
q^n , 即
H(n) = q^n ;
递推方程 :
H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 ,
n 项
H(n) 的值是
q^nn-1 项
H(n-1) 的值是
q^{n-1}n-2 项
H(n-2) 的值是
q^{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdotsn-k 项
H(n-k) 的值是
q^{n-k}代入后结果是 :
\ \ \ \ \ q^n 是递推方程的解
\Leftrightarrow q^n - a_1q^{n-1} - a_2q^{n-2} - \cdots - a_kq^{n-k} = 0将
q^{n-k} 作为公因式提取出来 ;
\Leftrightarrow q^{n-k} ( q^k - a_1q^{k-1} - a_2q^{k-2} - \cdots - a_k ) = 0上述两个乘积为
0 ,
q^{n-k} 肯定不为
0 , 则剩余部分结果是
0 ;
\Leftrightarrow q^k - a_1q^{k-1} - a_2q^{k-2} - \cdots - a_k = 0上述方程 , 正好是特征方程 , 该特征方程的解 , 就是特征根
q ;
\Leftrightarrowq 是特征根
二、递推方程解的线性性质定理
递推方程解的线性性质定理 :
h_1(n) 和
h_2(n) 都是同一个递推方程的解 ,
c_1 , c_2 是任意常数 ,
使用这两个解作 线性组合 ,
c_1h_1(n) + c_2h_2(n) , 这个线性组合也是递推方程的解 ;
证明方法 :
将
c_1h_1(n) + c_2h_2(n) 组合代入递推方程的左边式子中 , 化简后为
0 ;
递推方程 :
H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 ,
将
c_1h_1(n) + c_2h_2(n) 线性组合代入上述方程 ,
H(n) 使用
c_1h_1(n) + c_2h_2(n) 代替
H(n-1) 使用
c_1h_1(n-1) + c_2h_2(n-1) 代替
H(n-2) 使用
c_1h_1(n-2) + c_2h_2(n-2) 代替
H(n-k) 使用
c_1h_1(n-k) + c_2h_2(n-k) 代替
得到 :
(c_1h_1(n) + c_2h_2(n))-a_1(c_1h_1(n-1) + c_2h_2(n-1)) - a_2(c_1h_1(n-2) + c_2h_2(n-2))- \cdots - a_k(c_1h_1(n-k) + c_2h_2(n-k)) = 0将所有含有
c_1h_1 的项合并到一起 , 将所有含有
c_2h_2 的项 , 合并到一起 , 得到 :
c_1( h_1(n) - a_1h_1(n-1) - a_2h_1(n-2) - \cdots - a_kh_1(n-k))+c_2( h_2(n) - a_1h_2(n-1) - a_2h_2(n-2) - \cdots - a_kh_k(n-k))= 0上述式子中 蓝色部分 和 红色部分 分别都是
0h_1(n) 是递推方程的解 , 因此
c_1( h_1(n) - a_1h_1(n-1) - a_2h_1(n-2) - \cdots - a_kh_1(n-k)) 的值为
0 ;
h_2(n) 是递推方程的解 , 因此
c_2( h_2(n) - a_1h_2(n-1) - a_2h_2(n-2) - \cdots - a_kh_k(n-k)) 的值为
0 ;
三、递推方程解的形式
将之前将的 “递推方程解与特征根之间的关系定理” 与 “递推方程解的线性性质定理” 结合在一起 , 就可以 根据特征根 , 将递推方程的解写出来 ;
假定
q_1 , q_2 , \cdots , q_k 是递推方程的特征根 , 一元
k 次方程有
k 个根 ;
根据 “递推方程解与特征根之间的关系定理” ,
q_1^n, q_2^n , \cdots , q_k^n 都是递推方程的解 ,
将这
k 个解 , 作线性组合 ,
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n ,
根据 “递推方程解的线性性质定理” , 上述线性组合
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 也是递推方程的解 ;
此时找到了递推方程的解的一种形式 ;
总结下过程 :
- 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0 ;
- 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
- 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
-1 , 最低次幂
0 ;
- 写出 没有系数 的特征方程 ;
- 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
- 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
满足
H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 公式的所有递推方程 , 都具有
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n 形式的解 ;
