【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:42:51

6340

发布于 2023-03-28 18:42:51

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参考博客 : 按照顺序看

一、指数生成函数性质

两个数列

\{a_n\} , \{b_n\}

对应的指数生成函数分别是

A_e(x) , B_e(x)

,

将上述两个指数生成函数相乘 , 看做一个函数 , 可以展开成另外一个数列的级数形式 ,

A_e(x) \cdot B_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n \cfrac{x^n}{n!}

其中 ,

c_n =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dbinom{n}{k}a_kb_{n-k}

( 代入即可求出该结果 )

二、指数生成函数求解多重集排列

多重集

S=\{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \}

多重集

S

的

r

排列数组成数列

\{ a_r \}

, 对应的指数生成函数是 :

G_e(x) = f_{n_1}(x) f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x)

★

其中每个生成函数项

f_{n_i}(x)

是

f_{n_i}(x) = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^{n_i}}{n_i!}

★

将

G_e(x)

展开 , 其中的

\cfrac{x^r}{r!}

的系数就是多重集的排列数 , 特别注意如果不是

\cfrac{x^r}{r!}

形式 , 需要强制转化成上述性质 , 一定要除以

r!

; ★★★★★

选取问题参考 :

n

元集

S

, 从

S

集合中选取

r

个元素 ;

根据元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :

	元素不重复	元素可以重复
有序选取	集合排列 P ( n , r ) P(n,r) P(n,r)	多重集排列
无序选取	集合组合 C ( n , r ) C(n,r) C(n,r)	多重集组合

P(n,r)

多重集排列无序选取集合组合

C(n,r)

多重集组合

选取问题中 :

不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列 ;

P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}

不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合 ;

C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}

可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ;

全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}

, 非全排列

k^r , \ \ r\leq n_i

可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ;

N= C(k + r - 1, r)

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