【数字信号处理】周期序列 ( 周期序列定义 | 周期序列示例 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:39:07

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发布于 2023-03-30 11:39:07

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一、周期序列定义

周期序列定义 :

x(n)

满足

x(n) = x(n + N) \ \ \ -\infty < n < + \infty

条件 , 并且

是满足上述条件的最小整数 ,

x(n)

可以被称为以

为周期的周期序列 ;

周期序列可以表示为 :

\widetilde x(n)

这里特别注意 , 周期

是一个 " 整数 " , 没有单位 , 不是时间单位 , 这是因为采样间隔不确定 , 其量级可能是纳秒、微秒、毫秒、秒、年等单位 ;

傅里叶级数变换时 , 其频谱是离散的 , 其时域是周期的 ;

连续非周期的傅里叶变换也是连续非周期的 ;

频域与时域存在一个对偶关系 :

时域是周期的 , 频域是离散的
时域是离散的 , 频域是周期的

二、周期序列示例

给定周期序列 :

\widetilde x(n) = \sin( \cfrac{\pi n}{4})

有

个条件是已知条件 :

① 正弦函数周期 :

\sin

正弦函数的周期是

2\pi

;

sin (\phi) = sin(\phi + 2k\pi)

代入到周期序列中 :

\widetilde x(n) = sin (\cfrac{\pi n}{4}) = sin(\cfrac{\pi n}{4} + 2k\pi)

② 周期序列特性 : 上述序列是周期序列 , 一定满足

x(n) = x(n + N) \ \ \ -\infty < n < + \infty

条件 ;

代入到周期序列中 : 使用

n + N

替换

;

\widetilde x(n) = sin (\cfrac{\pi n}{4}) = sin(\cfrac{\pi n}{4} + 2k\pi)

\widetilde x(n) = sin (\cfrac{\pi }{4} (n + N)) = sin(\cfrac{\pi n}{4} + 2k\pi)

直接对比

\sin

函数中的参数 :

\cfrac{\pi }{4}(n + N) = \cfrac{\pi }{4}(n) + 2k \pi

\cfrac{\pi }{4}n + \cfrac{\pi }{4}N = \cfrac{\pi }{4}(n) + 2k \pi

\cfrac{\pi }{4}N = 2k \pi

N = 8k

最小周期为

N= 8, k = 1

其含义是

个

\sin

模拟周期内采集了

个样本 ;

计算

的值 :

数字角频率

\omega

( 单位 : 弧度 ) 与模拟角频率

\Omega

( 单位 : 弧度/秒 ) 关系如下 :

\omega = \Omega T

其中 ,

是采样周期 , 单位是秒 ;

\omega = \cfrac{\pi }{4}

\Omega = 2\pi f_0

, 其中

f_0

是模拟频率 , 没有单位 ,

f_0 = \cfrac{T}{T_0}

, 其中

T_0

是模拟信号周期 , 这里是

2\pi

;

将上述内容代入公式 :

\omega = \cfrac{\pi }{4} = \Omega T = 2\pi \cfrac{T}{T_0}

\cfrac{\pi }{4} = 2\pi \cfrac{T}{T_0}

8T = T_0

也就是说在一个模拟采样周期中 , 至少要采集

个样本 ;

下图的

\sin

函数中的一个周期内 , 采集了

个样本 ;

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原始发表：2022-02-19，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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