【数字信号处理】线性时不变系统 LTI ( 判断某个系统是否是 “ 非时变 “ 系统 | 案例三 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:42:04

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发布于 2023-03-30 11:42:04

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

文章目录

一、判断系统是否 " 非时变 "

1、案例二

给定输入序列

x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \}

,

n

取值

-1

~

5

判断其输出序列

y(n) = x(n^2)

的 " 变换 " 操作是否是 " 时不变 " 的 ;

y(n) = x(n^2)

变换操作 :

y(n)

只有在

n = -1 , 0 , 1 , 2

取值时 , 才有值 ,

如果

n = 3

,

n^2 = 9

,

x(9)

没有值 ; 如果

n = 4

,

n^2 = 16

,

x(16)

没有值 ; 如果

n = 5

,

n^2 = 25

,

x(10)

没有值 ;

因此 , 正常变换后 ,

y(n)

的取值是

n = 0 , 1 , 2

时的取值 ,

当

n = -1

时 ,

y(n) = x(n^2) = x((-1)^2) = x(1) = 2

; 当

n = 0

时 ,

y(n) = x(n^2) = x(0^2) = x(0) = 1

; 当

n = 1

时 ,

y(n) = x(n^2) = x(1^2) = x(1) = 2

; 当

n = 2

时 ,

y(n) = x(n^2) = x(2^2) = x(4) = 5

;

其中

-1

和

1

的平方都为

1

, 合并成一个 ;

x(n)

正常变换后的取值为 :

y(n) = \{ 1, 2, 5 \}

① 时不变系统概念

时不变系统 ( time-invariant ) : 系统特性 , 不随着时间的变化而变化 ;

y(n - m) = T[x(n-m)]

输入延迟后 , 输出也随之延迟 ;

与 " 时不变 " 系统对应的是 " 时变 " 系统 ;

② 先变换后移位

将 " 输出序列 " 进行移位 , 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

先将 " 输入序列 " 进行 " 变换 " 操作 , 得到 " 输出序列 " , 然后对输出序列进行 " 移位 " 操作 ;

其中 " 变换 " 指的是 , 离散时间系统 , 将 " 输入序列 " 变换为 " 输出序列 " , 输入序列到输出序列之间的操作 , 是 " 变换 " ;

变换操作 : 先将输入序列

x(n)

进行变换操作 , 得到输出序列

x(n^2)

,

移位操作 : 然后对

x(n^2)

输出序列进行移位

n - n_0

得到

x((n-n_0)^2)

,

完整运算过程如下 :

y(n - n_0) = x((n-n_0)^2)

先变换 , 变换后输出为 :

y(n) = \{ 1, 2, 5 \}

后移位的取值为 : 向右移一位 ;

y(n-1) = \{ 0, 1, 2, 5 \}

③ 先移位后变换

将 " 输入序列 " 进行移位 , 先进行移位 , 将 " 输入序列

x(n)

" 先进行 " 移位 " 操作 , 得到新的 " 输入序列 " 为

x(n-n_0)

, 然后对新的输入序列进行 " 变换 " 操作 , 得到 " 输出序列 " ;

变换过程是

T[x(n - n_0)] = x(n^2 - n_0)

, 变换时 , 只是将

n

值变为

n^2

,

n_0

值不动 ;

x(n-n_0)

变换时 , 只将

n

乘以

2

,

n_0

不变 , 变换结果如为

x(2n - n_0)

;

完整过程如下 :

T[x(n - n_0)] = x(n^2 - n_0)

先将

x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \}

,

n

取值

-1

~

5

, 向右移位 , 移位后的序列 :

x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 \}

n

取值

0

~

6

, 移位后的序列图式如下 :

向右移位 1 后 ,

n

取值由原来的

-1

~

5

变为了

0

~

6

,

y(n)

只有在

n = 0 , 1 , 2

取值时 , 才有值 ,

如果

n = 3

,

n^2 = 9

,

x(9)

没有值 ; 如果

n = 4

,

n^2 = 16

,

x(16)

没有值 ; 如果

n = 5

,

n^2 = 25

,

x(10)

没有值 ;

因此 , 正常变换后 ,

y(n)

的取值是

n = 0 , 1 , 2

时的取值 ,

当

n = 0

时 ,

y(n) = x(n^2) = x(0^2) = x(0) = 0

; 当

n = 1

时 ,

y(n) = x(n^2) = x(1^2) = x(1) = 1

; 当

n = 2

时 ,

y(n) = x(n^2) = x(2^2) = x(4) = 4

;

x(n - 1)

正常变换后的取值为 :

T(x(n -1 )) = \{ 0, 1, 4 \}

④ 结论

先 " 变换 " 后 " 移位 " , 结果是

x((n-n_0)^2)

, 输出序列为

y(n-1) = \{ 0, 1, 2, 5 \}

先 " 移位 " 后 " 变换 " , 结果是

x(n^2 - n_0)

, 输出序列为

T(x(n -1 )) = \{ 0, 1, 4 \}

该系统是 " 时变系统 " ;

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原始发表：2022-02-21，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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