【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理推导过程 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:43:49

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一、线性卷积起点定理推导过程

推导【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理 | 左边序列概念 | 推理 ) 一、线性卷积起点定理章节中的 " 线性卷积起点定理 " ;

一、线性卷积起点定理推导过程

先考虑

x(n)

和

y(n)

是右边序列的情况 ;

g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i)

右边序列

x(i)

是从某个点

N_1

开始有值 , 如果

i \leq N_1

时 ,

x(i)

值都为

, 因此

\sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i)

式子计算时 , 可以不用从

i = -\infty

开始累加 , 从

i =N_1

开始累加即可 ;

g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = N_1} x(i) y(n - i)

右边序列

y(n - i)

是从某个点

N_2

开始有值 ,

n - i

一定是大于等于

N_2

时 , 才有值

n - i \geq N_2

i \leq n - N_2

因此 , 这里

的取值不用到

+\infty

, 最高取值

n - N_2

即可 ;

g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{n - N_2}_{i = N_1} x(i) y(n - i)

如果

n - N_2 < N_1

, 即

n < N_1 + N_2

, 则有

i < N_1

, 此时

\sum^{n - N_2}_{i = -N_1} x(i) y(n - i)

计算结果为

, 只有在

n - N_2 \geq N_1

时 , 即

n \geq N_1 + N_2

时 ,

g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{n - N_2}_{i = N_1} x(i) y(n - i)

才有意义 ;

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