【数字信号处理】LTI 系统因果性与稳定性示例 ( 示例一 | 示例二 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:46:51

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发布于 2023-03-30 11:46:51

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一、系统因果性与稳定性示例一

判断系统的因果性与稳定性 :

y(n) = \cfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x(n-k)

因果性 : " 离散时间系统 "

时刻的 " 输出 " , 只取决于

时刻及

时刻之前的 " 输入序列 " , 与

时刻之后的 " 输入序列 " 无关 ;

稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;

因果性证明 :

由于

的取值范围是

[0, N-1]

区间 ,

y(n)

与

x(n) , x(n-1) , \cdots , x(n - N + 1)

有关 ;

也就是

y(n)

只与

时刻以及

时刻之前的 " 输入序列 " 有关 ,

因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;

稳定性证明 :

如果

|x(n)| \leq B

, 是有界的 ,

则有

|y(n)| \leq \cfrac{1}{N} \times NB = B

, 求和的结果也是有界的 ,

\sum h(n) < \infty

就是不可和的 ;

因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;

二、系统因果性与稳定性示例二

判断系统的因果性与稳定性 :

y(n) = e^{x(n)}

因果性 : " 离散时间系统 "

时刻的 " 输出 " , 只取决于

时刻及

时刻之前的 " 输入序列 " , 与

时刻之后的 " 输入序列 " 无关 ;

稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;

因果性证明 :

y(n)

与

x(n)

有关 ;

也就是

y(n)

与

时刻以及

时刻之前的 " 输入序列 " 有关 , 更准确的说是只与

时刻的

x(n)

有关 ;

因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;

稳定性证明 :

如果

|x(n)| \leq B

, 是有界的 ,

则有

|y(n)| \leq e^B

, 求和的结果也是有界的 ,

\sum h(n) < \infty

就是不可和的 ;

因此 , 该系统具有 " 稳定性 " ;

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原始发表：2022-02-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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