【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 使用递推方法证明 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:49:18

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一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

参考【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

" 线性常系数差分方程 "
" 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

线性常系数差分方程 :

y(n) - ay(n - 1) = x(n)

边界条件 ( 初始条件 ) :

y(0) = 0

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、使用递推方法证明

假设系统的 " 输入序列 " 为 :

x(n)

使用 " 线性常系数差分方程 " 递推运算 , 可以得到 :

y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i}x(i)u(n - 1)

2、证明线性

假设

x(n) = ax_1(n) + bx_2(n)

将

y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i}x(i)u(n - 1)

代入上述假设的

x(n)

式子中 ;

计算过程如下 :

y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i)u(n - 1)

= \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} [ ax_1(n) + bx_2(n) ] u(n - 1)

= ay_1(n) + by_2(n)

上述系统是 " 线性系统 " ;

3、证明时不变

" 输入序列 " 移动

n_0

, 开始计算 " 输出序列 " , 查看修改前后的 " 输出序列 " 是否相同 ;

先变换后移位

原始 " 输出序列 " :

y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i)u(n - 1)

移位后的 " 输出序列 " : 也就是先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 1}a^{n-n_0- i} x(i)u(n-n_0 - 1)

先移位后变换

原始 " 输入序列 " :

x(n)

移位后的 " 输入序列 " :

x(n - n_0)

先 " 移位 " 后 " 变换 " :

T[(n - n_0)] = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i - n_0)u(n - 1)

进行变量替换 , 假设

i' = i - n_0

, 使用

i = i' + n_0

替换

= \sum^{n - n_0}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1)

= \sum^{-1}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1) + \sum^{n-n_0}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1)

= \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)

时变系统结论

先变换后移位的计算结果 :

y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 1}a^{n-n_0- i} x(i)u(n-n_0 - 1)

先移位后变换的计算结果 :

= \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)

这两个结果不同 , 因此该系统不是 " 时不变 " 系统 , 是时变系统 ;

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原始发表：2022-02-27，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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