【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例二 | A 向量分析 | B 向量分析 | 输入序列分析 | matlab 代码 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:51:39

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发布于 2023-03-30 11:51:39

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一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例二

一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例二

描述某个 " 线性时不变系统 " 的 " 线性常系数差分方程 " 如下 :

y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i)

其中 ,

M = 2

,

N = 2

,

b_0 = 0.0223

,

b_1 = 0.01

,

b_2 = 0.0223

,

a_1 = -1.7007

,

a_2 = 0.7613

,

输入序列 :

f_1 = 0.4kHz

,

f_2 = 2.45kHz

,

F_s = 10kHz

x(n) = \sin(\cfrac{2 \pi f_1 n} {F_s}) + \sin(\cfrac{2 \pi f_2 n} {F_s}) \ \ \ 0 \leq n \leq 127

边界条件 / 初始条件 :

y(-1) = 0

求该 LTI 系统的输出序列 ;

线性常系数差分方程公式 :

y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) \ \ \ \ \ \ \ n \geq M

1、B 向量元素 : x(n) 参数

讨论

B

向量 ,

B

向量是

x(n)

的参数 , 有几个

x(n)

项 ,

B

向量就有几个元素 ;

b_0 = 0.0223

,

b_1 = 0.01

,

b_2 = 0.0223

;

% 线性常系数差分方程 中的 x(n) 项系数
B=[0.0223 ,0.001, 0.0223];

2、A 向量元素 : y(n) 参数

下面讨论

A

向量 ,

A

向量是

y(n)

的参数 , 有几个

y(n)

项 ,

A

向量就有几个元素 ;

线性常系数差分方程 :

y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i)

a_1 = -1.7007

,

a_2 = 0.7613

, 再加上左侧的

y(n)

系数 , 将所有的

y(n)

项 , 移到等式左侧 , 系数如下 :

% 线性常系数差分方程 中的 y(n) 项系数
A=[1, -1.7007, 0.7613];

3、输入序列

输入序列 :

f_1 = 0.4kHz

,

f_2 = 2.45kHz

,

F_s = 10kHz

x(n) = \sin(\cfrac{2 \pi f_1 n} {F_s}) + \sin(\cfrac{2 \pi f_2 n} {F_s}) \ \ \ 0 \leq n \leq 127

对应的 matlab 代码为 :

x=sin(2 * pi * 0.4 * (0:127)/10) + sin(2 * pi * 2.45 * (0:127) / 10);

4、matlab 代码

matlab 代码 :

% 输入序列
x=sin(2 * pi * 0.4 * (0:127)/10) + sin(2 * pi * 2.45 * (0:127) / 10);

% 线性常系数差分方程 中的 x(n) 项系数
B=[0.0223 ,0.001, 0.0223];

% 线性常系数差分方程 中的 y(n) 项系数
A=[1, -1.7007, 0.7613];

% 输出序列
y=filter(B,A,x);

%建立幕布
figure;
%绘制 "输出序列" 图像 , 点用上三角表示
plot(y);

% 打开网格
grid on;

绘图效果 :