【数字信号处理】相关函数 ( 卷积与交换性 | 相关函数不具有交换性 | 推导过程 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:53:51

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发布于 2023-03-30 11:53:51

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文章目录

一、卷积与交换性

1、卷积概念

对于线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设

x(n)

是 LTI 系统的 " 输入序列 " ,

y(n)

是 " 输出序列 " ,

则有 :

y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的线性卷积 ;

参考【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 ) 博客 ;

2、卷积交换律

线性卷积具有交换性 ;

x(n) * h(n) = h(n) * x(n)

参考【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 周期性分析 | 卷积运算规律 | 交换律 | 结合律 | 分配率 | 冲击不变性 ) 博客 ;

二、相关函数交换性

x(n)

卷积

h(n)

的结果等于

h(n)

卷积

x(n)

的结果 ;

但是 " 相关函数 " 不具有交换性 ;

x(n)

与

y(n +m)

的相关函数

r_{xy}(m)

如下 :

r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)

这里先给出结论 ,

x(n)

与

y(n +m)

的相关函数

r_{xy}(m)

不等于

y(n)

与

x(n +m)

的相关函数

r_{yx}(m)