【数字信号处理】相关函数与线性卷积关系 ( 卷积概念 | 相关函数概念 | 相关函数与线性卷积对比 | x(-m) 共轭与 y(m) 的卷积就是两个信号位移 m 的相关函数 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 11:55:58

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发布于 2023-03-30 11:55:58

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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总结

相关函数与卷积在数学上是有关系的 , 但是其物理意义不同 ;

卷积的物理意义 : 线性时不变系统输入序列 , 输出序列与单位脉冲响应

h(n)

之间的关系 ;

相关函数 : 反应两个信号之间的关系 ;

可以使用 " 快速计算卷积 " 的方法 , 计算相关函数 ;

一、相关函数与线性卷积概念

1、卷积

卷积概念

对于线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设

x(n)

是 LTI 系统的 " 输入序列 " ,

y(n)

是 " 输出序列 " ,

则有 :

y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的线性卷积 ;

卷积公式

卷积公式如下 :

y(n) = x(n) * h(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)

卷积具有交换律 :

y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} h(m) x(n-m)

2、相关函数

互相关函数

互相关函数表示的是两个不同的信号之间的相关性 ;

x(n)

与

y(n)

的 " 互相关函数 " 如下 ,

r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)

其中

y(n)

进行了移位 , 向左移动了

m

单位 ,

该 " 互相关函数 " 求的是

y(n)

移位

m

后的序列与

x(n)

序列之间的关系 ;

注意这里的

n

表示的是时刻 ,

m

表示的是信号移动的间隔 ;

该 " 互相关函数 " 表示的是

x(n)

信号 , 与隔了

m

时间后的

y(n)

信号之间的关系 ;

这

2

个信号 ( 序列 ) 之间 " 关系 " 是一个函数 , 函数的自变量是

m

间隔 , 不是

n

;

自相关函数

自相关函数 ( Autocorrelation Function ) :

r_{xx}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) x(n + m) = r_x(m)

" 自相关函数 " 是 " 自己信号 " 与 " 隔一段时间后的自己信号 " 之间的相关性 ;

如果

m = 0

时 , " 自己信号 " 与 " 隔一段时间

m

后的自己信号 " 完全相等 , 该值就是信号的能量 ;

r_{x}(0) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2= E

二、相关函数与线性卷积关系

1、相关函数与线性卷积对比

卷积可以写为 :

g(n) = x(n) * y(n)= \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) y(n-m)

相关函数 :

r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)

相关函数与卷积对比 :

加和式的范围都是

-\infty

~

+\infty

;

x(n)

序列项的自变量不同 , 相关函数是

n

, 卷积是

m

;

x(n)

序列相关函数取了共轭 , 卷积没有 ;

y(n)

序列相关函数的自变量是

n + m

, 卷积的自变量是

n-m

;

2、使用卷积推导相关函数

x(-m)

的共轭与

y(m)

的卷积计算 :

x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(-n) y(m-n)

令

-n = n'

,

n

的范围还是

-\infty

~

+\infty

,

使用

n = -n'

替换

n

, 带入到上面的卷积式子中 ,

x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(- (-n')) y(m-(-n'))

x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(n') y(m + n') = r_{xy}(m)

最终计算出来的结果就是

r_{xy}(m)

互相关函数 ;

3、使用卷积计算互相关函数

使用卷积计算互相关函数 :

r_{xy}(m) = x^*(-m) * y(m)

4、使用卷积计算自相关函数

使用卷积计算自相关函数 :

r_{x}(m) = x^*(-m) * x(m)

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原始发表：2022-03-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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