【数字信号处理】相关函数应用 ( TDOA 时差估计 | 时间差与距离差 | 方向定位与精准定位 | 信号描述 | 通过相关函数求时间差 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:02:05

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文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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一、TDOA 时差估计

一、TDOA 时差估计

假设有一个 " 信号源 " ,

在不同的位置设置两个接收机 , 分别是 " 接收机1 " 和 " 接收机2 " ,

" 信号源 " 近场位置是一个球面 ,

一旦到达远场 , 10

\lambda

以上距离 , 就可以看做一个平面 ,

1、信号相关函数

信号传播 , 先达到 " 接收机2 " , 再到达 " 接收机1 " ,

求上述两个路径的信号的 " 相关函数 " ;

互相关函数定义 :

x(n)

与

y(n)

的 " 互相关函数 " 如下 ,

r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)

自相关函数定义 :

x(n)

的 " 自相关函数 " 如下 ,

r_{x}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) x(n + m)

2、时间差与距离差

信号源到接收机1 的信号 , 称为信号1 ;

信号源到接收机2 的信号 , 称为信号2 ;

信号1 和信号2 事先有一定的差别 , 这两个信号相关性最大时的

值 , 可以求出时间差

\Delta \tau

;

时间差

\Delta \tau

, 与距离差

\Delta d

之间的关系是 :

\Delta \tau = \cfrac{\Delta d}{c}

其中

是光速 ;

3、方向定位与精准定位

个接收机靠时差 , 是无法进行精确定位的 , 只能定位信号源的方向 ,

如果要进行精确定位 , 至少要

个接收机进行精确定位 ;

4、2 个信号的函数描述

" 信号源 " 到 " 接收机1 " 的 " 信号1 " , 可以使用如下公式描述 :

x_1(t) = s(t) + N_1(t)

s(t)

是发出的信号 ,

N_1(t)

是 " 信号1 " 中掺杂的噪声 ;

" 信号源 " 到 " 接收机2 " 的 " 信号2 " , 可以使用如下公式描述 :

x_2(t) = s(t - D) + N_2(t)

s(t - D)

是发出的信号 , 时间少了

N_2(t)

是 " 信号2 " 中掺杂的噪声 ;

两个信号中的噪声是互相独立的 , 没有关联 ;

理想情况下 , 噪声为

;

5、通过相关函数求时间差

信号2 的公式如下 :

x_2(t) = s(t - D) + N_2(t)

其中

时间差 , 通过求两个信号的相关性得出 ,

信号1 和信号2 相关性最大时 , 此时的

\tau

就是时间差 ;

互相关函数公式如下 :

r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)

信号1 和信号2 的互相关函数如下 :

r_{x_1x_2}(\tau) = \sum_{t=-t_0}^{t_0}x_1(t + \tau)x_2(t)

上述式子中的

\tau

相当于

加和式中范围没必要是

-\infty

+\infty

, 取

-t_0

t_0

即可 ,

将

x_1(t)

和

x_2(t)

代入到式子中 ,

当

N_1(t)

和

N_2(t)

两个噪声是相互独立的 ,

信号

s(t)

与噪声

N(t)

相乘 , 是不相关的 ,

s(t)

是相互统计独立的 ,

最终 , 计算结果是 :

r_{x_1x_2}(\tau) = \sum_{t=-t_0}^{t_0}s(t + \tau)s(t)

求出上述相关函数最大值时 ,

\tau

的值就是时间差

;

D = \arg_{\tau}\max|r_{x_1x_2}(\tau)|

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原始发表：2022-03-04，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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