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一、序列傅里叶变换与反变换
在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系
序列绝对可和 与 存在傅里叶变换 :
x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "
x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数
\delta(\omega) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
序列绝对可和可以表示成 :
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty三、序列傅里叶变换性质
x(n) 的傅里叶变换是
X(e^{j\omega}) , 有如下性质 :
x(n) 是离散的 , 其 傅里叶变换
X(e^{j\omega}) 对
\omega 来说是连续的 ;
X(e^{j\omega}) 是周期的 , 其周期是
2\pi , 其主值区间为
[- \pi , \pi] ;
X(e^{j\omega}) = X(e^{j( \omega + 2M\pi )})其中
M 是整数 ;
e^{-j\omega n} , 将
\omega = 2\pi M 带入即可得到其是以
2\pi 为周期的 ;
- 周期独立性 : 在 相同周期 内的 各个频率 彼此独立 , 频率列举 : \omega
域
\omega = 2M\pi ,
\pi 的偶数被上 ;
\omega = (2M + 1 )\pi ,
\pi 的奇数倍 上 ;
数字角频率
\omega , 与 模拟角频率
\Omega 之间的关系 :
\omega = \Omega T直流就是
\omega = 2 \pi f 中的 数字频率
f = 0 ;
直流的时候 , 数字频率
f 为
0 , 则数字角频率
\omega 也为
0 ;
证明 " 直流分量角频率 在
\omega = 2M\pi " :
直流分量 角频率 在
\pi 的偶数倍上 , 角频率 是以
2\pi 为周期的 , 周期信号的 组织是
[-\pi , \pi] ,
在 横轴为
\omega 角频率 , 纵轴为
X(e^{j\omega}) 的坐标系中 , 横坐标
\omega = 0 位置的值对应
\omega = 2 \pi 和
\omega = -2\pi , 这
3 个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量 永远在
\pi 的偶数倍上 ;
证明 " 最高频率分量 在
\pi 的奇数倍上 " :
根据
\omega = \Omega T , 计算
\omega =\pi 点对应的 模拟频率 ,
\omega = \Omega T = \pi模拟角频率
\Omega = \cfrac{\pi}{T} , 其中
T 是采样周期 , 单位是秒 ;
则采样率
F_s = \cfrac{1}{T} , 单位是
Hz , 每秒采集多少样本 ;
\Omega = \cfrac{\pi}{T} = \cfrac{\Omega_s}{2} , 其中
\Omega_s 是采样角频率 ;
模拟角频率是
\Omega = 2\pi f , 其中
\Omega 是模拟角频率 ,
f 是模拟频率 ;
\Omega_s = 2\pi F_s = \cfrac{2\pi}{T}根据采样定理 ,
\Omega_s \geq \Omega_{max} ,
\Omega_s 是采样角频率 要大于等于
\Omega_{max} 最高频率 ;
\Omega_{max} 最高频率 就是
\cfrac{\Omega_s}{2} , 其中
\Omega_s 是采样角频率 ;
参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;