【数字信号处理】基本序列傅里叶变换总结 ( 单位脉冲序列 δ(n) | {1} 序列 | e^jωn 序列 | cosωn 序列 | sinωn 序列 | a^nu(n) | 矩形窗函数 ) ★★★

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:06:57

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一、单位脉冲序列 δ(n) 傅里叶变换

SFT[ \delta (n) ]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(n) e^{-j \omega n} = 1

二、{1} 序列傅里叶变换

SFT[1] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )

\widetilde{\delta} ( \omega )

样式 , 说明该 单位脉冲函数 是以

2 \pi

为周期的 ,

\widetilde{\delta} ( \omega )

可以写成如下式子 :

\widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m )

m

取值

(-\infty , +\infty)

;

三、e^jωn 傅里叶变换

SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )

四、cosωn 傅里叶变换

SFT[\cos \omega_0 n] = \pi (\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) + \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) )

五、sinωn 傅里叶变换

SFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{ \pi [\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )] }{i}

六、a^nu(n) 傅里叶变换

SFT[a^nu(n)] = X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}}

七、矩形窗函数 R_N(n) 傅里叶变换

SFT[R_N(n)] = X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cfrac{N-1}{2}} \cfrac{ \sin( \cfrac{\omega N}{2} ) }{ \sin( \cfrac{\omega }{2} )}

SFT[R_N(n)] = N \ \ \ \ \omega = 0

SFT[R_N(n)] = 0 \ \ \ \ \omega = \cfrac{2\pi k}{N} , k = \pm1 , \pm2 , \cdots

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原始发表：2022-03-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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