【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换频移性质 | 证明过程 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:07:41

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发布于 2023-03-30 12:07:41

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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一、傅里叶变换时移性质

傅里叶变换频移性质 :

" 序列信号

x(n)

" 的 " 傅里叶变换 A " ,

" 序列信号

x(n)

" 与 " 单位复指数

e^{j \omega_0 n}

" 相乘 , 得到的 " 序列 B " ,

注意这里的单位复指数中的

\omega_0

就是傅里叶变换中的移位 ,

求该 " 序列 B " 的 " 傅里叶变换 C " ,

" 傅里叶变换 A " 与 " 傅里叶变换 C " 这两个频域信息形状相同 , 位移相差

\omega_0

;

也就是说

" 傅里叶变换 A " 移位

\omega_0

后, 得到 " 傅里叶变换 C " ;

使用公式表示为 :

SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = X(e^{j ( \omega - \omega_0 )})

1、证明过程

傅里叶变换公式为 :

SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ①

将

e^{j \omega_0 n}x(n)

作为序列 , 代入到上面的公式 ① 中 , 得到 :

SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j \omega_0 n}x(n) e^{-j \omega n}

移项 :

SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega_0 n} e^{-j \omega n}

合并

e^{j \omega_0 n}

与

e^{-j \omega n}

项 :

SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{- j ( \omega - \omega_0 ) n}

最终得到 :

SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = X(e^{j ( \omega - \omega_0 )})

证明完毕 ;

2、使用场景

宽带信号 , 其中有很多信号 , 将信号从一个频率搬移到另一个频率中 , 使用滤波将其它信号过滤 , 然后采样播放出来 ;

频率搬移的过程 , 使用的就是傅里叶变换频移性质 ;

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原始发表：2022-03-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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