【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 共轭对称、共轭反对称与偶对称、奇对称关联 | 序列对称分解定理 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:09:52

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一、共轭对称、共轭反对称与偶对称、奇对称关联

实序列 :

偶对称 :

x(n) = x(-n)

奇对称 :

x(n) = -x(-n)

复序列 :

共轭对称 :

x(n) = x^*(-n)

共轭反对称 :

x(n) = -x^*(-n)

对于实序列来说 , 共轭对称就是偶对称 ;

对于实序列来说 , 共轭反对称就是奇对称 ;

二、序列对称分解定理

任意一个序列

x(n)

, 都可以使用其共轭对称序列

x_e(n)

与共轭反对称序列

x_o(n)

之和来表示 ;

x(n) = x_e(n) + x_o(n)

共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]

共轭反对称序列

x_o(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]

证明过程

已知 : 任意序列可以由其共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示 ,

x(n) = x_e(n) + x_o(n) \ \ \ \ ①

x(n)

的共轭对称序列是

x^*(-n)

, 记做

x_e(n)

;

x(n)

的共轭反对称序列是

-x^*(-n)

, 记做

x_o(n)

;

将 ① 公式的两边取共轭 , 使用

-n

代替

, 得到 :

x^*(n) = x_e^*(-n) + x_o^*(-n)\ \ \ \ ②

根据共轭对称性质

x(n) = x^*(-n)

, 可知

x_e^*(-n) = x_e(n) \ \ \ \ ③

;

根据共轭反对称性质

x(n) = -x^*(-n)

, 可得到

-x_o^*(-n) = x_o(n)

, 将负号移到等式右边可得

x_o^*(-n) = -x_o(n) \ \ \ \ ④

;

将 ③ 和 ④ 带入到 ② 中 , 得到 :

x^*(n) = x_e(n) - x_o(n) \ \ \ \ ⑤

① 和 ⑤ 公式相加 ,

x_o(n)

项抵消了 , 可得到

x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]

① 和 ⑤ 公式相减 ,

x_e(n)

项抵消了 , 可得到

x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]

总结

任意一个序列 , 都存在共轭对称序列与共轭反对称序列 ,

共轭对称序列与原序列的关系 :

x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]

共轭反对称序列与原序列的关系 :

x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]

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