【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 频域函数的共轭对称分解 | 序列的傅里叶变换 | 傅里叶变换的共轭对称 | 傅里叶变换的共轭反对称 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 13:10:37

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x(n)

的傅里叶变换是

X(e^{j \omega})

,

x(n)

存在共轭对称

x_e(n)

与共轭反对称

x_o(n)

,

X(e^{j \omega})

也存在着共轭对称

X_e(e^{j\omega})

和共轭反对称

X_o(e^{j\omega})

;

一、频域函数 ( 傅里叶变换 ) 的共轭对称分解

频域函数的共轭对称分解 :

任意函数

X(e^{j\omega})

都可以分解成共轭对称分量

X_e(e^{j\omega})

和共轭反对称分量

X_o(e^{j\omega})

之和 , 表示为 :

X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})

二、序列对称分解定理

序列对称分解定理 :

任意一个序列

x(n)

, 都可以使用其共轭对称序列

x_e(n)

与共轭反对称序列

x_o(n)

之和来表示 ;

x(n) = x_e(n) + x_o(n)

共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]

共轭反对称序列

x_o(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]

x(n)

的傅里叶变换是

X(e^{j \omega})

,

x(n)

存在共轭对称

x_e(n)

与共轭反对称

x_o(n)

,

X(e^{j \omega})

也存在着共轭对称

X_e(e^{j\omega})

和共轭反对称

X_o(e^{j\omega})

;

三、傅里叶变换的共轭对称与共轭反对称

在

X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})

式子中 , 根据序列对称分解定理 ,

X_e(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega}) ]

X_o(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) - X^*(e^{-j\omega}) ]

其中

X_e(e^{j\omega})

是共轭对称的 , 对应实数的偶对称 , 有如下特性 :

X_e(e^{j\omega}) = X_e^*(e^{-j\omega})

其中

X_o(e^{j\omega})

是共轭反对称的 , 对应实数的奇对称 , 有如下特性 :

X_o(e^{j\omega}) = -X_o^*(e^{-j\omega})

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原始发表：2022-03-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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