【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | x(n) 分解为实部序列与虚部序列 | 实部傅里叶变换 | 虚部傅里叶变换 | 共轭对称傅里叶变换 | 共轭反对称傅里叶变换 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 13:11:13

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发布于 2023-03-30 13:11:13

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

文章目录

一、前置概念

1、序列对称分解定理

序列对称分解定理 : 任意一个序列

x(n)

, 都可以使用其共轭对称序列

x_e(n)

与共轭反对称序列

x_o(n)

之和来表示 ;

x(n) = x_e(n) + x_o(n)

共轭对称序列

x_e(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]

共轭反对称序列

x_o(n)

与原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]

2、傅里叶变换

x(n)

的傅里叶变换是

X(e^{j \omega})

,

x(n)

存在共轭对称

x_e(n)

与共轭反对称

x_o(n)

,

X(e^{j \omega})

也存在着共轭对称

X_e(e^{j\omega})

和共轭反对称

X_o(e^{j\omega})

;

3、傅里叶变换的共轭对称分解

傅里叶变换的共轭对称分解 :

X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})

其中

X(e^{j\omega})

是

x(n)

的傅里叶变换 ,

X_e(e^{j\omega})

是傅里叶变换的共轭对称分量 ,

X_o(e^{j\omega})

是傅里叶变换的共轭反对称分量 ,

二、序列傅里叶变换共轭对称性质

0、序列傅里叶变换共轭对称性质

x(n) 分解为实部序列与虚部序列

x(n)

可以分解为实部序列

x_R(n)

和虚部序列

j x_I(n)

:

x(n) = x_R(n) + j x_I(n)

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 ,

x(n)

还可以由序列的共轭对称序列

x_e(n)

和共轭反对称序列

x_o(n)

之和表示 ;

x(n) = x_e(n) + x_o(n)

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

x(n)

的傅里叶变换

X(e^{j\omega})

也可以分解为实部序列

X_R(e^{j\omega})

和虚部序列

j X_I(e^{j\omega})

:

X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega})

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据傅里叶变换的共轭对称分解 ,

x(n)

的傅里叶变换 , 可以由

x(n)

的共轭对称序列的傅里叶变换

X_e(e^{j\omega})

与

x(n)

的共轭反对称序列的傅里叶变换

X_o(e^{j\omega})

之和表示 ;

X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})

1、序列实部傅里叶变换

x(n)

序列的实部

x_R(n)

的傅里叶变换 , 就是

x(n)

的傅里叶变换

X(e^{j \omega})

的共轭对称序列

X_e(e^{j \omega})

;

x_R(n)

的傅里叶变换

X_e(e^{j \omega})

具备共轭对称性 ;

x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega})

2、序列虚部傅里叶变换

x(n)

序列的虚部

x_I(n)

的傅里叶变换 , 就是

x(n)

的傅里叶变换

X(e^{j \omega})

的共轭反对称序列

X_o(e^{j \omega})

;

jx_I(n)

的傅里叶变换

X_o(e^{j \omega})

具备共轭反对称性 :

jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega})

3、共轭对称序列傅里叶变换

x(n)

的共轭对称序列

x_e(n)

的傅里叶变换 , 一定是一个实序列

X_R(e^{j \omega})

x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})

4、共轭反对称序列傅里叶变换

x(n)

的共轭反对称序列

x_o(n)

的傅里叶变换 , 一定是一个纯虚序列

X_R(e^{j \omega})

x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega})

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原始发表：2022-03-16，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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