【Android UI】贝塞尔曲线 ⑤ ( 德卡斯特里奥算法 | 贝塞尔曲线递推公式 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 16:10:26

5470

发布于 2023-03-30 16:10:26

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贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker

一、德卡斯特里奥算法

贝塞尔曲线的三阶 / 四阶 / 五阶曲线的绘制 , 都是依赖于其低阶贝塞尔曲线实现的 ,

三阶贝塞尔曲线是由二阶贝塞尔曲线实现的 ,

四阶贝塞尔曲线是由三阶贝塞尔曲线实现的 ;

德卡斯特里奥算法可以实现贝塞尔曲线降阶的效果 ;

下面开始介绍德卡斯特里奥算法 ;

在向量

AB

上选择

C

点 ,

C

点将

AB

向量切割成比例为

u : 1- u

,

也就是

A

到

C

的距离

|AC|

, 与

A

到

B

的距离

|AB|

, 其比值为

u

, 写成公式就是如下形式 :

|AC| : |AB| = u

A

到

B

的距离

|AB|

全长为

1

,

A

到

C

的距离

|AC|

比例占到全长的

u

,

u

的取值范围是

0

~

1

之间的浮点值 ,

C

到

B

的距离

|CB|

比例占到全长的

1-u

;

再回到贝塞尔曲线中 ,

上图是

P_0

到

P_2

的二阶贝塞尔曲线 ,

P_0

是起始点 ,

P_2

是终止点 ,

P_1

是控制点 ;

首先通过一阶等式 , 在

P_0

到

P_1

之间确定出

P_0^1

点 ,

P_0

到

P_0^1

点占整个

P_0

到

P_1

的比例为

u

;

然后通过一阶等式 , 在

P_1

到

P_2

之间确定出

P_1^1

点 ,

P_1

到

P_1^1

点占整个

P_1

到

P_2

的比例为

u

;

最后通过一阶等式 , 在

P_0^1

到

P_1^1

之间确定出

P_0^2

点 ,

P_0^1

到

P_0^2

点占整个

P_0^1

到

P_1^1

的比例为

u

;

最终得到如下等式 :

\cfrac{P_0P_0^1}{P_0^1P_1} = \cfrac{P_1P_1^1}{P_1^1P_2} = \cfrac{P_0^1P_0^2}{P_0^2P_1^1} = u

当

u

从

0

~

1

进行变化时 ,

P_0^2

点形成的曲线就是二阶贝塞尔曲线 ;

( 网上找的图片 , 图片中的

t

也就是上面说的比例

u

)

二阶贝塞尔曲线中的

P_0^2

点 ,

由起始点

P_0

到控制点

P_1

组成的向量 , 和由控制点

P_1

到终止点

P_2

组成的向量 ,

这两个向量根据比例

u

决定的一阶贝塞尔曲线

P_0^1

到

P_1^1

向量根据比例

u

确定的 ,

也就是

P_0^2

点由一阶贝塞尔曲线

P_0^1

到

P_1^1

向量确定 ;

上述操作 , 将二阶贝塞尔曲线 , 降阶成了一阶贝塞尔曲线 ;

二、贝塞尔曲线递推公式

由上面的结论进行类推 :

二阶贝塞尔曲线 ( 起止点 +

1

个控制点 ) 由

2

条一阶贝塞尔曲线确定 ,

三阶贝塞尔曲线 ( 起止点 +

2

个控制点 ) 由

2

条二阶贝塞尔曲线确定 ,

四阶贝塞尔曲线 ( 起止点 +

3

个控制点 ) 由

2

条三阶贝塞尔曲线确定 ,

\vdots

n

阶贝塞尔曲线 ( 起止点 +

n-1

个控制点 ) 由

2

条

n-1

阶贝塞尔曲线确定 ;

贝塞尔曲线递推公式如下 :

P_i^k = \begin{cases} P_i , k = 0\\ (1-t)P_i^{k-1} + tP_{i + 1}^{k-1} , k = 1,2,\cdots,n ; i = 0,1,\cdots,n-k \end{cases}

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