【C++】AVL树
目录
一、概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii
和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在
O(log_2 n) ，搜索时间复杂度 O(log_2 n) 。
二、原理及实现
1.定义
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; // 平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};pair类相当于将K和V整合在了一个类中。K和V详情参考：二叉搜索树
2.插入
AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL 树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
插入节点的方法和我们前文讲到的二叉搜索树插入方法一致，我们在此就不重复叙述了。我们这里主要聊的是如何调整平衡因子来保持平衡。
注：cur：表示当前插入位置 parent：表示插入位置的父亲节点 g：代表parent的父节点
1）更新平衡因子
思路：
如果插入的 cur 为左节点，parent的平衡因子--，如果为右节点，则++。此时可能还需要向上更新平衡因子。
是否继续更新需要看子树高度是否发生变化：
- 当parent->_bf == 0 说明之前子树一边高一边低，现在平衡了，不需要继续更新。
- 当parent->_bf == 1/-1 ,说明之前两边一样高，现在子树高度增加了，需要往上继续更新。
- 当parent->_bf == 2/-2 ,说明现在高度不平衡，已经违反了规则，处理方法：就地旋转 。
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//多出来的两个都在右边
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}2）旋转
规则：
- 让这颗子树左右高度差不超过1
- 旋转过程中要保持是搜索树
- 更新调整孩子节点的平衡因子
- 让这颗子树高度和插入前保持一致
旋转还需要分成两种情况：直线旋转和折线旋转。
直线旋转：
只需要旋转一次即可，如上图，要向右旋转，我们只需要把 parent 的右节点给g作为左节点，然后g作为parent的右节点，最后就可以完成旋转。平衡后我们需要将平衡因子更新为0。
向左旋转是也是同理，我们只需要把parent的左节点给g当做右节点，然后g作为parent的右节点。
代码：
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
//if (_root == parent)
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}折线旋转：
需要直线旋转两次得到，所以这里可以服用直线旋转。
我们先将parent左旋一次，然后将g右旋一次，最终就达到平衡。
1、cur就是新增，cur旋转前的平衡因子是0，旋转完三个节点的平衡因子都赋值为0即可。
2、当在cur左侧新增一个节点，cur旋转前的平衡因子是-1，旋转后，g的平衡因子为1，其他都为0。
3、当在cur的右侧新增一个节点，cur旋转前的平衡因子是1，旋转后parent的平衡因子是-1，其他都为0.
另一个方向的旋转也是同理。
代码：
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == 0)
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}三、性能分析
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log_2 (N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操
作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，
有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数
据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
腾讯云开发者
