OpenGL矩阵变换的数学推导

天天P图攻城狮

发布于 2023-04-10 11:40:16

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发布于 2023-04-10 11:40:16

说起OpenGL的矩阵变换，我是之前在我们的项目天天P图、布丁相机中开发3D效果时才比较深入地研究了其中的原理，一直想写这篇文章，由于很忙（lǎn），拖了很久，再不写我自己也要忘了。一开始时，也只是知道怎么去用这些矩阵，却不知道这些矩阵是怎么得来的，当出现一些莫名其妙的问题时，如果不了解其中的原理，就不知道如何解决，于是想彻底搞懂其中的原理，还好自己对数学挺有兴趣，于是从头到尾把推导过程研究了一遍，总算掌握了其中的奥秘，不得不佩服OpengGL的设计者，其中的数学变换过程令人陶醉，下面我们一起来看看。这些矩阵当中最重要的就是模型矩阵（Model Matrix）、视图矩阵（View Matrix）、投影矩阵（Projection Matrix），本文也只分析这3个矩阵的数学推导过程。这三个矩阵的计算OpenGL的API都为我们封装好了，我们在实际开发时，只需要给API传对应的参数就能得到这些矩阵，下面带大家来看看究竟是怎样计算得到的。

什么是OpenGL的矩阵变换

我们先来看一张经典图：

这张图相信很多同学在学习OpenGL的过程中都看到过，它比较直观地展示了OpenGL矩阵变换的过程，下面我详解一下其中的含义：

首先OpenGL有个世界坐标系，我们渲染的物体就是在世界坐标系中，我们的模型需要放到世界坐标系中，那么当我们还没放的时候，模型就和世界坐标系没有联系，它就还处于自己的坐标系中，我们叫做模型坐标系、局部空间、局部坐标系，也就是图中的LOCAL SPACE。
当我们把模型放到世界坐标系中，模型就在世界坐标系里有了坐标，也就是原来在LOCAL SPACE中的那些坐标值，变成了世界坐标系中的坐标值，帮助我们完成这个变换的就是模型矩阵，对应图中的MODEL MATRIX，于是这样我们就把模型放到了图中的世界坐标系WORLD SPACE中
放到世界坐标系后，是不是就确定了我们渲染出来看到的样子？还没有，大家可以想像一下，我把一个东西放在世界坐标系的某个地方，我可以从近处看观察它，也可以从远处观察它，还可以从上下左右观察它，甚至还可以倒着观察它，因些还需要确定我们观察它的状态。OpenGL里帮我们虚拟出了一个Camera（特别注意，这里的Camera不是指我们硬件的Camera），从API的层面上看，我们只需要设置Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量就能将观察状态定下来，而这些设置最终会转换成OpenGL中的视图矩阵，对应图中的VIEW MATRIX
经过View Matrix的变换后，我们观察它的结果就确定了，图中是从距离它一定的距离、上往下观察它，这时候的点坐标就来到了视图坐标系下，对应图中的VIEW SPACE
这时候，我们能看到什么东西，基本已经确定了，不过还有一步投影变换，这是什么东西？大家想像一下，我们看到同一个东西，是不是通常都是近大远小？那么如何实现近大远小？就要靠投影变换，OpenGL提供正交投影和透视投影，正交投影没有近大远小的效果，不管在什么距离上看，都一样大，透视投影则有近大远小的效果，也是符合我们实际生活的一种效果，透视投影应用得比较多，可看下面这张经典图：

完成投影变换就需要靠投影矩阵，即图中的PROJECTION MATRIX

我们看可以从图中看到经过投影变换后就到了裁剪坐标系CLIP SPACE，什么？裁剪坐标系？我们不是投影吗？裁剪了什么东西？实际上，我们的投影操作也顺带做了裁剪，所谓裁剪就是说把那些我们视野内看不到的东西去掉，什么是视野？就是我们在生成投影矩阵时会设置近平面、远平面、视角，这些东西会构成一个可见的空间，对应上图中的虚线和近平面、远平面包围起来的空间
下一步就是上屏（如果是离屏渲染就是到一个frame buffer上），这些坐标毕竟只是OpenGL坐标系下的坐标，那么最终以什么样的大小呈现在屏幕上呢？就要通过视口变换映射到屏幕上

以上就是一个完整的矩阵变换过程，里面最重要的就是MVP三个矩阵，M即模型矩阵（Model Matrix）,V即视图矩阵（View Matrix）,P即投影矩阵（Projection Matrix）,本文将针对这三个矩阵的来由详解其中的数学推导，其中投影矩阵只讲解透视投影矩阵，因此它比较常用且其推导过程比正交投影矩阵复杂得多。

模型矩阵（Model Matrix）推导

相信大家在数学中都学过平移、缩放、旋转三种基本变换，将模型放到世界坐标系中就是利用这三种变换的组合来实现的，我们来看一下平移、缩放、旋转三种变换对应的矩阵：

平移变换

缩放变换

旋转变换

1）绕x轴旋转

2）绕y轴旋转

3）绕z轴旋转

大家可以看到旋转变换有三个矩阵？为什么不写成一个，注意绕轴旋转的先后顺序不同，最终的结果可能是不一样的，因此有三个独立的矩阵，根据实际情况组合。

模型矩阵相对来说简单一些，相信大家还能回忆起来之前学数学时的知识，就是通过将平移、缩放、旋转三种矩阵的组合实现将模型以某种姿态、某种大小放到世界坐标系的某个地方。

视图矩阵（View Matrix）推导

前面提到过，视图矩阵对应Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量，我们先来看一张图：

下面我们来看看怎样通过Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量得到对应的View Matrix，首先给Camera定一个坐标系：

NUV这三个向量是怎么来的呢？我们将Camera的坐标记为eye，朝向的点坐标记为lookat，上方向向量记为up，那么：

N向量： eye - lookat

U向量：up X N并归一化

V向量：N X U并归一化

我们要把Camera以某种姿态放在世界坐标系中的某个地方，这个放的过程就是对应Camera的旋转和平移，这里表示为TR，其中T表示平稳变换矩阵，R表示旋转变换矩阵。

我们虽然设置的是Camera，但最终动的是点坐标，因为Camera压根就不存在，是一个假想的东西。假设我们不动摄像机，动坐标点，那么对坐标点的变换就应该是对相机变换的逆变换T^-1R^-1（就是对TR整体求逆矩阵），注意，这里的T^-1R^-1看起来貌不惊人，实际上就是我们要求的View Matrix。

根据前面的知识，我们能很容易得到T^-1:

这个直观上也好理解，比如本来是平移Tx，逆过来就是平移-Tx，依此类推。再回顾一下我们的目标T^-1R^-1，现在还差R^-1，现在再次回到我们假想的Camera，前面说要对它做TR，当做完R后，Camera会旋转至某个姿态：

XYZ和UVN都可以看成是一组基，根据线性代数公式可将一个点在XYZ基下的坐标转成在UVN基下的坐标，R就相当于是把基XYZ变换成UVN的变换矩阵，其中：

假设：

则有：

于是：

由于R是正交矩阵，有性质：R^-1=R^T（R^T代表R的转置），为什么R是正交矩阵？Tips:方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组。于是：

现在我们T^-1和R^-1都有了，T^-1R^-1也就是最终的View Matrix可以很容易地计算出来了，因为OpenGL中坐标是4维的，所以这里将矩阵写成4*4的：

投影矩阵（Projection Matrix）推导

下面是投影矩阵的推导，是最为复杂的一个矩阵，前面提到，投影矩阵是由视野决定的，而视野又是由近平面、远平面和视角决定的，我们把视野在坐标系中画出来，请看下图：

简单起见，我们不妨把Camera摆在原点，让它朝z轴负方向来讨论问题。 h表示近平面高度 w表示近平面宽度 n表示Camera到近平面的距离 f表示Camera到远平面的距离 P代表视野中的一个点那么接下来要求的投影矩阵，就是能将P点正确地投影到近平面上，设P(x0, y0, z0)，我们从y轴正向往负向看，即看xoz平面，看到的画面是这样的：

假设投影后的x坐标为x1 ，由三角形相似原理则易得：

同理有：

设l和r分别为近平面左、右边框的x坐标，则有l=-w/2，r=w/2，投影归一化后坐标范围为-1~1，最左边是-1，最右边是1，l和r归一化至-1~1是线性变换，于是列一个kx+b类型的方程组并解得k和b：

令xn表示点P的x坐标投影归一化后的值，代入kx+b得：

同理可得点P的y坐标投影归一化后的值yn：

下面我们来构造带有未知数的投影矩阵然后求解它们，设待投影点为(x0,y0,z0,1)，我们先来构造投影矩阵的第一第二行：

这里强调一个细节，投影矩阵仅帮我们完成投影变换，不会归一化，上面的x2、y2、z2指的是投影后归一化前的值，还记得前面计算的xn和yn吗？我们用一个括号把其中一个部分括了起来，外面乘了一个因子（-1/z0），后面会说这个因子是什么东西，现在只需要知道，x2、y2实际上就是前面括号里那堆东西，所以上面投影矩阵的第一行和第二行就自然能轻松地构造出来。

接下来就构造第三第四行，我们先看第四行，第四行计算的结果是投影后的第四维坐标，也就是w，前面提到了归一化，而OpenGL的归一化操作就是通过将坐标除以其对应的w值来完成的，再回头看我们前面计算的xn和yn，它们是归一化后的值。还记得括号外面乘了一个因子（-1/z0）吗？乘（-1/z0）可以看成是除以-z0，因此希望w就是-z0，于是构造第四行让w的计算结果为-z0：

接下来就是最复杂的第三行，如何去构造第三行？第三行有4个值，现在都不知道是什么，我们需要构造4个未知数吗？对于解方程来说，在能解决问题的情况下，未知数能少就尽量少，不然只会徒增烦恼。这里其实不需要4个未知数，为什么呢？那就要理解z2这个值是什么东西，它就是投影之后未归一化的深度值，而深度和x0、y0没有关系，这个如何理解？就是说我把一个东西放在左，上边，还是右边，不影响它的深度，要改变深度需要前后移动。既然z2和x0、y0没有关系，那么x0、y0不管是什么值，都不会影响z2的值，因此用0去乘x0、y0，即第三行的第一第二个元素是0。再看第三行的第三第四个元素，我们假设第三个元素是0，会发生是什么？那么z2就等于B，而B最后求出来放到矩阵中肯定是一个定值，这就意味着z2也是定值，于是z2就无法表示不同的点的不同深度，这不是我们想要的结果，因此第三个元素不能是0，是一个待求的未知数。同理，我们假设第四个元素是0会发生什么？这样投影矩阵第四列全是0，根据线性代数的知识，这个矩阵行列式等0，它必定不可逆，而我们希望投影矩阵是可逆的，这样我们可以对坐标做一些逆变换来实现一些特殊的功能，因此第四个元素也不能是0，于是设它为一个未知数。这样，我们就构造出了一个包含未知数A和B的投影矩阵：