连续信源的熵
由于连续信源信号幅度取值无限性, 要精确表示这样的信号, 理论上需要无穷个bit才行。即连续信源的绝对熵为
\infty 。
仿照离散信源熵的定义, 有连续信源的熵（相对熵）定义为
H(X)=-\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log (f(x)) d x其中
f(x) 为连续信源信号
\mathbf{X} 的概率密度函数。连续信源的 (相对) 熵可正可负。
R(D) 的定义域
率失真的定义域问题就是在信源和失真函数已知的情况下，讨论允许平均失真度
\bar{D} 的最小和最大取值问题。
由于平均失真度
\bar{D} 是非负实数
d\left(x_{i}, y_{j}\right) 的数学期望, 因此
\bar{D} 也是非负的实数，即
\bar{D} \geq 0 , 故
\bar{D} 的下界是 0 。允许平均失真度能否达到其下限值0, 与单个符号的失真函数有关。
D_{\min } 和
R\left(D_{\min }\right)信源的最小平均失真度:
D_{\min }=\sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right) \min _{j} d\left(x_{i}, y_{j}\right)只有当失真矩阵的每一行至少有一个
\mathbf{0} 元素时,信源的平均失真度才能达到下限值
\mathbf{0} 。
当
\boldsymbol{D}_{\text {min }}=\mathbf{0} , 即信源不允许任何失真时,信息率至少应等于信源输出的平均信息量一信息熵。
R(0)=H(X)对于连续信源
R\left(D_{\min }\right)=\lim _{D \rightarrow 0} R(D) \rightarrow \infty因为实际信道总是有干扰，其容量有限，要无失真地传送连续信息是不可能的。
当允许有一定失真时,
R(D) 将为有限值, 传送才是可能的。
\mathbf{R}(\mathbf{D}) 的定义域为
[D_{\text {min }}, D_{\text {max }}] 。
D_{\text {min }}=0, \quad R\left(D_{\min }\right)=H(X)- 当 D ≥ D max D \geq D_{\text {max }} D≥Dmax 时, \quad R(D)=0
- 当
0 \leq D \leq D_{\text {max }} 时，
0\lt R(D)\lt H(X)由于
I(X, Y) 是非负函数,而
R(D) 是在约束条件下的
I(X, Y) 的最小值, 所以
R(D) 也是一个非负函数, 它的下限值是零。
\boldsymbol{R}(D) \geq 0D_{\text {max }} ：是定义域的上限。
D_{\text {max }} 是满足 R(D)=0 时所有的平均失真度中的最小值。
D_{\text {max }}=\min _{R(D)=0} D由于
I(X, Y)=0 的充要条件是 X 与 Y 统计独立, 即:
\begin{array}{c} p\left(y_{j} \mid x_{i}\right)=p\left(y_{j}\right) \\ D_{\max }=\min _{p\left(y_{j}\right)} \sum_{i} \sum_{j} p\left(x_{i}\right) p\left(y_{j}\right) d\left(x_{i}, y_{j}\right) \\ =\min _{p\left(y_{j}\right)} \sum_{j} p\left(y_{j}\right) \sum_{i} p\left(x_{i}\right) d\left(x_{i}, y_{j}\right) \\ D_{\max }=\min _{j=1,2 \cdots m} \sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right) d\left(x_{i}, y_{j}\right) \end{array} 例: 设输入输出符号表为
\mathbf{X}=\mathbf{Y}=\{\mathbf{0}, 1\} , 输入概率分布
p(x)=\{1 / 3,2 / 3\} , 失真矩阵
d=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]
求
\mathbf{D}_{\min } 和
\mathbf{D}_{\max }
解：失真矩阵的每一行至少有一个 0 元素时,
D_{\min }=0\begin{array}{l} D_{\max }=\min _{j=1,2} \sum_{i=1}^{2} p_{i} d_{i j} \\ =\min _{j}\left(\frac{1}{3} \times 0+\frac{2}{3} \times 1, \frac{1}{3} \times 1+\frac{2}{3} \times 0\right) \\ =\min _{j}\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3} \end{array} 例: 设输入输出符号表为
\mathbf{X}=\mathbf{Y}=\{\mathbf{0}, \mathbf{1}\} , 输入概率分布
p(x)=\{1 / 3,2 / 3\} , 失真矩阵
d=\left[\begin{array}{ll} 1 / 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right]
求
D_{\min } 和
\mathbf{D}_{\text {max }}
解:
\begin{array}{l} D_{\min }=\sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right) \min _{j} d\left(x_{i}, y_{j}\right) \\ =\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}+\frac{2}{3} \times 1=\frac{5}{6} \\ D_{\max }=\min _{j=1,2} \sum_{i=1}^{2} p_{i} d_{i j}=\min _{j}\left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}+\frac{2}{3} \times 2, \frac{1}{3} \times 1+\frac{2}{3} \times 1\right) \\ =\min _{j}\left(\frac{3}{2}, 1\right)=1 \\ \end{array}参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.
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