距离度量 —— 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)

繁依Fanyi

发布于 2023-05-07 19:05:10

9630

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一、概述

闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance)，也被称为 闵氏距离。它不仅仅是一种距离，而是将多个距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）总结成为的一个公式。

二、计算公式

1. 闵氏距离公式

首先假设两个 n 维变量

A(x_{11},x_{12},...,x_{1n})

与

B(x_{21},x_{22},...,x_{2n})

。

对于这两个 n 维变量，则有闵氏距离公式为：

d_{12}=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p}

乍一看，可能觉得这个公式很复杂，也觉得这个公式与前面说到的距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）没太大关联，但当我分解一下，就知道有什么关联了。

2. 闵氏距离的参数 p

闵氏距离主要和它的参数

有关，

值不同，公式也将不同。

①

p=1

时，闵氏距离为曼哈顿距离

\begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}| \end{aligned}

②

p=2

时，闵氏距离为欧式距离

\begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sqrt{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^2}\\ &=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2}\\ \end{aligned}

③

p=\infty

时，闵氏距离为切比雪夫距离

\begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sqrt[\infty]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^\infty}\\ &=max(|x_{1i}-x_{2i}|) \end{aligned}