读书日记 - 贝叶斯公式应用

原创

王白石

修改于 2023-05-28 10:21:53

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修改于 2023-05-28 10:21:53

文章被收录于专栏：数学/人工智能/机器学习

贝叶斯公式允许我们使用 P(a|b) 、P(b ) 和 P(a) 这三项来计算P(b|a) 。乍一看，似乎不是那么有用，但贝叶斯公式在实践中很有用

P(Y|X)=\frac {P(X|Y)P(Y)} {P(X)}

因为在很多情况下，我们对这 3 项概率有很好的估计，只需要计算第 4 项。通常我们把未知原因（cause) 引发的结果（effect) 视为证据，并想知道这个结果发生的原因是什么。在这种情况下，贝叶斯公式变成了

P(cause|effect)=\frac {P(effect|cause)P(cause)} {P(effect)}

条件概率P(effect|cause) 是量化因果关系(causal)，而P(cause|effect) 是描述诊断关系。

在像医疗诊断这样的任务中，我们通常有因果上的条件概率，比如医生知道脑膜炎在 70\% 情况下会导致病人颈部僵硬。医生也知道一些无条件事实：病人患有脑膜炎的先验概率是\frac {1} {50000} ，而病人颈部僵硬的先验概率是 1\% 。令 s 表示病人颈部僵硬（stiff）的命题，m 表示病人患有脑膜炎（meningitis）的命题，我们有

P(s|m) = 0.7 \\ P(m) = 1 / 50000 \\ P(s) = 0.01

根据贝叶斯公式，我们可以知道预估只有 0.14\% 的颈部僵硬的病人可能患有脑膜炎，注意尽管脑膜炎的显著特征为颈部僵硬(概率为 0.7 )，但颈部僵硬的病人患有脑膜炎的概率则很小，这是因为颈部僵硬的先验概率比患有脑膜炎的先验概率高很多

P(m|s) = \frac {P(s|m)P(m)} {P(s)} \\ = \frac {0.7 * 1 / 50000} {0.01} \\ = 1.14\%

因果关系P(s|m) 不受疾病流行的影响，因为它仅仅反映脑膜炎的运作方式。使用这种直接因果或基于模型的知识，提供了使概率系统在真实世界中可行所需的关键的健壮性。