关于“堆”，看看这篇文章就够了（附堆的两种应用场景）

北海

发布于 2023-07-01 11:32:07

5850

发布于 2023-07-01 11:32:07

文章被收录于专栏：用户10155340的专栏

📘前言

堆（heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象，因此堆常常是通过数组的形式来实现的，不过堆在实现时必须遵守两个原则

要么是大根堆（大堆），要么是小根堆（小堆）
堆总是一棵完全二叉树

堆在实现时的基本功能有 入堆、出堆、查看堆顶元素及大小、判空 等，不过堆通常不单独使用，常常是作为一种辅助结构来处理现实中的问题，比如堆排序和Top-K问题

可以把堆进行理想化处理，就比如下图中的谷堆，就是一个非常标准的堆

关于堆的详细介绍还得接着往下看，相信你在看完后能学到很多干货！

📘正文

📖认识堆

想要认识堆，就要清楚堆的两条原则

原则一：堆必须是大根堆（大堆）或者小根堆（小堆）

大根堆（大堆）：即堆中所有元素的父亲都要比自己大（除了堆顶元素，堆顶元素没有父亲）
小根堆（小堆）：与大堆相反，堆中的所有元素的父亲都要比自己小（除了堆顶元素，堆顶元素没有父亲）

通俗来说，就是整个堆都要呈现出一种有序性，这种有序是 纵向的有序 ，可以通过现实中的实际例子举例，假设小明今年18岁，而他有一个16岁的亲弟弟小黑，以及一个24岁的堂姐小红，那么此时小明的家谱可以表示如下

显然，小明的爷爷是 >> 其父亲 >> 自己的，而同层间的兄弟姊妹关系不讲究，纵向是绝对有序的，这不符合了堆的第一条原则吗？事实上，将上图规范化，就能得到一个堆的逻辑结构图

原则二：堆总是一棵完全二叉树

完全二叉树指二叉树的前n-1层是满的，最后一层可以不满，但是要求树的节点从左到右都是连续的（递增或相等），比如上图中的就是一棵完全二叉树，判断是否为完全二叉树的关键为节点是否连续

知道这两条原则后，堆就算是入门了，不过堆在计算机中并不是直接以完全二叉树的形式存储的，而是以这种形式[68, 40, 44, 18, 16, 24]，没错，堆的真实物理结构是数组，逻辑结构（完全二叉树）只是为了让我们更好的理解堆，因此我们在实现堆时，需要借助顺序结构，画图理解时，可以画成完全二叉树的形式

Tips：堆为何必须是完全二叉树？

因为完全二叉树是必然连续的，完美符合数组连续存储的特性
可以避免不必要的索引浪费，这是提高效率的关键
后续在取堆顶元素、入堆、出堆时也比较直观

📖实现堆

📃结构

堆底层是顺序表，因此在定义堆结构时，可以复用顺序表的代码（当然函数要改个名字）

typedef int HPDataType;	//堆的元素类型

typedef struct HeapInfo
{
	HPDataType* data;	//数据域
	int size;	//堆的有效元素数
	int capacity;	//堆的容量，方便后续进行扩容
}HP;

堆的初始化、销毁、打印，非常简单，这里就不再做过多介绍，忘记的同学可以去看看我以前写的关于顺序表的文章

📃入堆

入堆前首先要先对数组容量进行检查，判断是否需要扩容，这也是个老朋友了，确认空间够大后，将目标数据插到堆底（完全二叉树末尾处），然后向上调整即可

检查容量可以判断 size 是否等于 capacity
堆底（完全二叉树末尾处）就是数组中 size 为下标的地方，插入成功后，size 要+1
size 初始化时为0，因此 size 的值还表示当前堆中的有效元素数

堆的精髓在于向上调整和向下调整，学好了就能掌握堆了，因为 堆的核心思想在于不断调整 ，首先介绍比较简单的向上调整

堆的向上调整，调整分为如下几步

假设当前插入的元素处（节点）为孩子，那么需要找到他的父亲节点，计算公式为 parent = (child - 1) / 2
通过所得到的父亲与孩子（都是下标），判断二者所代表的值大小，假设当前要建大堆，如果孩子比父亲大，那么就需要交换孩子与父亲的值，孩子变成父亲，向上更新父亲；如果不满足条件，则不需要进行调整，直接结束循环即可
假设这个新插入的元素（节点）很大，甚至能直接取代堆顶元素（根节点），那么循环的条件就要设为 孩子 > 0

简言之，向上调整的关键在于为新插入的元素找到合适的位置，使得堆满足原则一，所有父亲大于孩子（大堆），有点像打擂台，有能力的人就向上走，这里准备了一个动图，可以很好的展示这个过程

入堆及向上调整的代码如下

//向上调整，根据孩子找父亲
void AdjustUp(HPDataType* pa, int n, int child)
{
	assert(pa);

	//大堆：父亲比孩子都大
	//小堆：父亲比孩子都小

	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child > 0)
	{
		//大堆，孩子比父亲大，就调整
		//如果条件为假，说明此位置是合法的
		if (pa[child] > pa[parent])
		{
			Swap(&pa[child], &pa[parent]);
			child = parent;	//孩子移动
			parent = (child - 1) / 2;	//父亲更新
		}
		else
			break;
	}
}

void HeapPush(HP* ph, HPDataType x)	//入堆
{
	assert(ph);

	//考虑扩容
	if (ph->size == ph->capacity)
	{
		HPDataType newcapacity = ph->capacity == 0 ? 4 : ph->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(ph->data, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if (!tmp)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}

		ph->capacity = newcapacity;
		ph->data = tmp;
	}

	//入堆，直接尾插，然后向上调整
	ph->data[ph->size++] = x;
	AdjustUp(ph->data, ph->size, ph->size - 1);
}

注意：

在进行向上调整时，正确的找到孩子及其对应父亲是关键
- 无论是左孩子还是右孩子，都可以通过 parent = (child - 1) / 2 来计算父亲
交换值时，需要传地址，因为形参只是实参的一份临时拷贝
- 代码中的交换函数很简单，这里没有展示
调整的核心是为元素找到合适的位置（这个思想很重要）
- 所谓合适的位置就是必须满足原则一，成为大堆或小堆

📃出堆

出堆，出的是堆顶元素，即下标为0处的元素，因为对于数组来说，头删是十分不利的，因此我们这里学要借助一个小技巧：

将堆顶元素与堆底元素交换，然后将 size - -，这样就间接删除了原堆顶元素
元素交换后，堆的整体有序性将被打破，此时需要借助向下调整函数来矫正堆

显然，这里的关键在于向下调整函数，与向上调整找父亲不同，向下调整是找大孩子或小孩子（对应大堆或小堆），在找孩子时还需要特别注意越界问题

向下调整的步骤

确认向下调整的父亲，这里是删除堆顶元素，所以父亲是0
根据公式计算出目标孩子，假设左孩子为目标孩子，后续会进行判断验证
- 左孩子的计算公式 leftChild = parent * 2 + 1
- 右孩子的计算公式 rightChild = parent * 2 + 2
- 左右孩子间隔为 1，判断验证起来也很容易
判断左孩子是否为目标孩子，如果不是， child + 1 修改为右孩子，是的话就用左孩子
- 如果左孩子为最后一个孩子，那么此时进行判断验证是非法的，因为会涉及到越界问题，因此在判断验证前，需要先判断右孩子是否存在，即 child + 1 < n
判断当前孩子值与父亲值间的关系，假设建大堆，如果当前孩子值大于父亲值，那么就进行值交换，父亲变成孩子，重新假设目标孩子；如果不满足条件，跳出循环即可
循环结束条件为 child < n，当 child >= n 时，说明此时的父亲已经是当前堆中的最小父亲了（有孩子的才叫父亲）

向下调整比向上调整还麻烦，不过这东西的效率是极高的，后面介绍堆的应用场景时就明白了，向下调整核心仍然是为当前元素找到合适位置，不过因为孩子有两个，且他们之间的大小关系不明确，因此在确定孩子时需要多判断一下，同样的准备了动图，给大家看看演示下这个过程

向下调整逻辑是罗嗦了点，不过代码还是比较少的

void AdjustDown(HPDataType* pa, int n, int parent)	//向下调整
{
	assert(pa);

	//大堆，向下调整，需要找出大孩子，然后比较是否需要交换
	int child = parent * 2 + 1;	//假设左孩子为大孩子
	while (child < n)
	{
		//必须有右孩子才能进行判断
		if ((child + 1) < n && pa[child + 1] > pa[child])
			child++;

		if (pa[child] > pa[parent])
		{
			Swap(&pa[child], &pa[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;	//循环
		}
		else
			break;
	}
}

void HeapPop(HP* ph)	//出堆
{
	assert(ph);
	assert(!HeapEmpty(ph));

	//出的是堆顶的元素
	//先把堆顶和堆底元素交换，然后向下调整

	Swap(&ph->data[0], &ph->data[ph->size - 1]);	//交换
	ph->size--;	//有效元素-1

	AdjustDown(ph->data, ph->size - 1, 0);	//向下调整
}

注意：

出堆的前提是有元素可出，因此多加了一个断言，调用了判空函数
- 判空函数其实就是判断 size 是否为0
交换是堆顶与堆底进行交换，然后 size- -
- 堆顶元素在 0 处，堆底元素在 size - 1处
向下调整时，先是假设左孩子为目标孩子，之后再进行判断验证
- 当然，判断验证的前提是右孩子必须存在，因此条件 child + 1 < n 是不能少的
向下调整的核心思想也是为元素找到合适的位置
- 原则一，不能少

📃建堆算法

建堆算法是指直接传入一个数组，通过这个数组生成对应的大堆（小堆），建堆的步骤如下：

开辟一块足够大的空间，作为堆空间
拷贝数组中的所有元素至新空间内
通过两种不同的方式进行堆调整
- 向上调整（效率低）
- 向下调整（效率高）

两种调整性能比对	时间复杂度	数据量：100万	数据量：1亿（无序）	数据量：1亿（有序）
向上调整建堆	F(N) = N*logN	耗时29毫秒	耗时3036毫秒	耗时2310毫秒
向下调整建堆	F(N) = N - log(N + 1)	耗时22毫秒	耗时2372毫秒	耗时1997毫秒

推荐使用向下建堆，因为后续的堆排序和Top-K用的都是向下调整

向上调整建堆代码：

void HeapCreat(HP* ph, HPDataType* pa, int n)	//构建堆
{

	/*
	* 2023.2.19 修正
	* 原向上调整建堆存在 bug
	* 1、数据拷贝时存在漏拷贝的情况
	* 2、对已存在堆(无序)进行向上调整，需每次确认较大值，依次放入堆中，比较麻烦且容易出问题
	*
	* 解决方案：遵循向上调整的思路，将 pa 中的元素依次入堆，每次入堆都进行调整，这样可以确保始终为大堆，且运行稳定
	* 注：在堆进行操作前，先要确保堆已初始化
	*/

	//新解决方案
	assert(ph && pa);	//断言
	HeapInit(ph);	//确保堆已被初始化

	int pos = 0;
	while (pos < n)
	{
		//入堆，入堆本身自带向上调整
		HeapPush(ph, pa[pos]);
		pos++;
	}
}

向下调整建堆算法：

void HeapCreat2(HP* ph, HPDataType* pa, int n)	//构建堆
{
	//建堆有两种方式
	//1.向上调整
	//2.向下调整

	assert(pa);

	//开辟一块空间
	HPDataType* ptmp = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	assert(ptmp);
	ph->data = ptmp;
	ph->size = ph->capacity = n;

	//将数据拷贝至开辟空间中
	memcpy(ph->data, pa, sizeof(HPDataType) * (n - 1));

	//向下调整，建堆算法
	int parent = (n - 1 - 1) / 2;
	for (int i = parent; i >= 0; i--)
		AdjustDown(ph->data, n - 1, i);
}

关于堆的其他操作：取堆顶元素、当前堆的有效元素数、判断堆是否为空等，都是很简单的功能，基本逻辑和顺序表一样，忘记的可以去看看以前的博客

📖使用堆

有了堆我们可以干什么呢？

进行高效的排序和名次选拔

排序即堆排序，是一种效率极高的排序，与希尔、快排、归并等位于第一梯队，堆排序的核心在于向下调整，因为它的时间复杂度很低，因此整体排序效率就高；除了排序以外，堆还可以帮我们选出指定前 K 位数据，比如在10亿中找出最高的十个人，这就是Top-K问题

📃堆排序

堆排序，需要注意的是升序建大堆，降序建小堆，步骤如下：

假设求升序，先通过建堆算法建立一个大堆
因为大堆中的堆顶元素总是最大的数，将这个数换到堆底（沉底）
向下调整堆，重新选出次大的数（此时调整的范围 - 1）
重复上述步骤，直到遍历数组大小 - 1 次，最后一个数没必要比了

长话短说，堆排序运用了堆顶元素总是最大或最小值这一特点，将这个值沉到堆底，调整范围不断缩小，不断选出最大值或最小值，如此重复即可完成排序

void HeapSort(HPDataType* pa, int n)	//堆排序
{
	assert(pa);

	//升序，建大堆，降序，建小堆
	//注意：对数据进行排序，数组就是一个天然的堆，调整下就行了
	//均采用向下调整建堆
	int i = (n - 1 - 1) / 2;
	for (; i >= 0; i--)
		AdjustDown(pa, n, i);

	//大堆（升序），此时堆顶元素就是最大值，将其沉底，然后调整堆
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		Swap(&pa[0], &pa[n - 1 - i]);	//交换
		AdjustDown(pa, n - 1 - i, 0);	//调整
	}
}

注意

什么场景下用什么堆，这是很关键的事，一定要考虑清楚

📃Top-K 问题

Top-K 问题就像是堆排序的变种，求最大的前K个数时，需要小堆，求最小的前K个数时，需要大堆。至于Top-K为何如此奇怪，还得先看看求解步骤：

假设求前K个最小的值，根据传入的K值，创建大小为K的堆
将数组中的K个元素拷贝值堆中，然后调整建大堆
从第K个元素开始（K是元素个数，对应下标 - 1），如果数组值小于此时的堆顶元素值（堆的最大值），就将这个数组值换至堆顶处，向下重新调整堆
如此重复，直到将数据中的 n-K 个数组值遍历比较完

长话短说，Top-K 也是通过堆的特性：大堆顶为最大值，小堆顶为最小值，巧妙解决了需求。

举个例子，存在数组[3,5,1]，假设求最小的前两个数，建立大堆[5,3]，此时的数组值 1 小于堆顶值 5，交换，调整，得到堆[3,1]，此时通过排序优化，就可以得到最小的前两个数 1、3

原理：将大堆中的最大值不断刷掉，剩下的自然就是最小的K个数了
不过在求出目标数后，不一定有序，需要稍微排下序

void TopK(HPDataType* pa, int n, int k)	//TopK问题
{
	assert(pa);

	//最大，小堆
	//最小，大堆

	HP h;
	HeapInit(&h);

	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	assert(tmp);
	h.data = tmp;
	h.size = h.capacity = k;

	memcpy(h.data, pa, sizeof(int) * k);
	int parent = (k - 1 - 1) / 2;
	for (int i = parent; i >= 0; i--)
		AdjustDown(h.data, k, i);

	int i = k;
	while (i < n)
	{
		//现在是大堆，比较条件是数组元素小于堆顶元素，取的是最小的前k个数
		if (pa[i] < h.data[0])
		{
			Swap(&pa[i], &h.data[0]);
			AdjustDown(h.data, k - 1, 0);
		}
		i++;

		现在是小堆，比较条件是数组元素大于堆顶元素，取的是最大的前k个数
		//if (pa[i] > h.data[0])
		//{
		//	Swap(&pa[i], &h.data[0]);
		//	AdjustDown(h.data, k, 0);
		//}
		//i++;
	}

	//排序一下，显示效果更好
	HeapSort(h.data, k);
	HeapPrint(&h);

	HeapDestroy(&h);
}