2023-06-24：给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段， m、n都是整数，n ＞ 1并且m ＞ 1，

福大大架构师每日一题

发布于 2023-07-08 17:35:08

1860

发布于 2023-07-08 17:35:08

文章被收录于专栏：福大大架构师每日一题

2023-06-24：给你一根长度为 n 的绳子，

请把绳子剪成整数长度的 m 段，

m、n都是整数，n > 1并且m > 1，

每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1]。

请问 k[0]k[1]...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模1000000007。

输入: 10。

输出: 36。

答案2023-06-24：

具体步骤如下：

1.如果n <= 3，返回n-1。

2.如果n > 3，计算剩下绳子长度为n - 4，此时剩下的长度为4。

3.如果剩下的长度为0，即n为3的倍数，最后一段长度为1；如果剩下的长度为2，最后一段长度为2；如果剩下的长度为4，最后一段长度为4。

4.计算3的个数，即rest = n - (剩下的长度)；计算最后一段的长度last。

5.利用快速幂算法计算3的rest/3次方取mod后的结果，记为power(3, rest/3)。

6.返回(power(3, rest/3) * last) % mod作为最大乘积的结果。

例如，当n为10，按照上述步骤计算：

1.n > 3且不是3的倍数，剩下的长度为2，最后一段长度为2。

2.计算3的个数，rest = n - 2 = 8。

3.计算power(3, rest/3) = power(3, 8/3)。

4.返回(power(3, 8/3) * 2) % mod，计算结果为36，即最大乘积。

因此，输入为10，输出为36。

该代码的时间复杂度为O(log(n))，空间复杂度为O(1)。

在函数power中，通过快速幂算法计算x的n次方，时间复杂度为O(log(n))。在函数cuttingRope中，没有使用任何循环或递归，只有一些简单的判断和计算操作，因此时间复杂度为O(1)。

对于空间复杂度，代码只使用了常数级别的额外空间来存储变量，因此空间复杂度为O(1)。不随输入规模的增加而增加。

go完整代码如下：

package main

import "fmt"

const mod = 1000000007

// power计算x的n次方，取mod后的结果
func power(x int, n int) int {
    ans := int64(1)
    x64 := int64(x)
    n64 := int64(n)

    for n64 > 0 {
        if n64&1 == 1 {
            ans = (ans * x64) % mod
        }
        x64 = (x64 * x64) % mod
        n64 >>= 1
    }

    return int(ans)
}

// cuttingRope根据观察得到的规律计算绳子的最大乘积
func cuttingRope(n int) int {
    if n == 2 {
        return 1
    }
    if n == 3 {
        return 2
    }

    rest := 0
    last := 0

    if n%3 == 0 {
        rest = n
        last = 1
    } else if n%3 == 1 {
        rest = n - 4
        last = 4
    } else {
        rest = n - 2
        last = 2
    }

    return (power(3, rest/3) * last) % mod
}

func main() {
    n := 10
    result := cuttingRope(n)
    fmt.Println("Result:", result)
}

在这里插入图片描述

rust完整代码如下：

const MOD: i32 = 1_000_000_007;

fn power(x: i32, n: i32) -> i32 {
    let mut ans: i64 = 1;
    let mut x: i64 = x as i64;
    let mut n: i64 = n as i64;

    while n > 0 {
        if n & 1 == 1 {
            ans = (ans * x) % MOD as i64;
        }
        x = (x * x) % MOD as i64;
        n >>= 1;
    }

    ans as i32
}

fn cutting_rope(n: i32) -> i32 {
    if n == 2 {
        return 1;
    }
    if n == 3 {
        return 2;
    }

    let rest = if n % 3 == 0 { n } else if n % 3 == 1 { n - 4 } else { n - 2 };
    let last = if n % 3 == 0 { 1 } else if n % 3 == 1 { 4 } else { 2 };

    ((power(3, rest / 3) as i64 * last as i64) % MOD as i64) as i32
}

fn main() {
    let n = 10;
    let result = cutting_rope(n);
    println!("Result: {}", result);
}

在这里插入图片描述

c++代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int mod = 1000000007;

// power计算x的n次方，取mod后的结果
long long power(long long x, int n) {
    long long ans = 1;
    while (n > 0) {
        if ((n & 1) == 1) {
            ans = (ans * x) % mod;
        }
        x = (x * x) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

// cuttingRope根据观察得到的规律计算绳子的最大乘积
int cuttingRope(int n) {
    if (n == 2) {
        return 1;
    }
    if (n == 3) {
        return 2;
    }

    int rest = 0, last = 0;

    if (n % 3 == 0) {
        rest = n;
        last = 1;
    }
    else if (n % 3 == 1) {
        rest = n - 4;
        last = 4;
    }
    else {
        rest = n - 2;
        last = 2;
    }

    return (int)((power(3, rest / 3) * last) % mod);
}

int main() {
    int n = 10;
    int result = cuttingRope(n);
    cout << "Result: " << result << endl;
    return 0;
}

在这里插入图片描述

c完整代码如下：

#include <stdio.h>

const int mod = 1000000007;

// power计算x的n次方，取mod后的结果
long long power(long long x, int n) {
    long long ans = 1;
    while (n > 0) {
        if ((n & 1) == 1) {
            ans = (ans * x) % mod;
        }
        x = (x * x) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

// cuttingRope根据观察得到的规律计算绳子的最大乘积
int cuttingRope(int n) {
    if (n == 2) {
        return 1;
    }
    if (n == 3) {
        return 2;
    }

    int rest = 0, last = 0;

    if (n % 3 == 0) {
        rest = n;
        last = 1;
    }
    else if (n % 3 == 1) {
        rest = n - 4;
        last = 4;
    }
    else {
        rest = n - 2;
        last = 2;
    }

    return (int)((power(3, rest / 3) * last) % mod);
}

int main() {
    int n = 10;
    int result = cuttingRope(n);
    printf("Result: %d\n", result);
    return 0;
}