一道北大强基题背后的故事（六）——如何培养数学分析能力？
一道北大强基题背后的故事（六）——如何培养数学分析能力？
上回说到了解题的数学模型，相关内容请戳：
一道北大强基题背后的故事（五）——解数学题的数学模型是什么？
既然明白了解题的模型本质，那如何优化这个模型需要的人脑状态机的训练方法，也就呼之欲出了。以下是我依据数学解题的经验和前面介绍的数学解题分析模型总结的学习数学，训练数学分析能力的步骤，和大家分享一二。
对基本概念和逻辑推理滚瓜烂熟
基本概念是推理链接的基石，无论表层再花哨，没有基础概念的支撑就没有意义。这也是对数学之美最底层美的考察，任何题目如果背离了就不可能好题。另外，数理逻辑的严谨性是数学大厦构建的基本条件，否则虽然那也是逻辑，但就不是数学了。可惜的是，这两种东西都不是大脑结构天生就会，而是要不断训练形成感觉和思维习惯的，这样才能够把握住基本问题的方向，也不会走进错误的路径。
透过题目优化联想方向
只有夯实了基础，才进入题目训练，而不是题海战术。
一般老师在讲解的时候，都会很先入为主地带入一些并非记忆级别的先验知识，比如你看这里要是补一条线会如何，那里变号会怎么样。后面的推导部分，其实只要细心和基础工具扎实，大家都没问题。而关键问题在于，怎么想到要作这条辅助线，和那里要变号的呢？
所以你看到，高中以前的数学，包括数学竞赛，它的难，真的不在于已知的数学知识，定理，逻辑，推导过程等本身的难以理解和记忆，而是难在它们自身内部可以发生各种各样的组合，最后抹去中间的出题思路和推导过程来出现。如果有人给我看证明过程，我是可以凭借这点逻辑和概念去验证是否正确的，俗话说看得懂；但是具体怎么想到这个过程的，就很为难了。这部分内容，教科书上不怎么写，辅导书上写得参差不齐，老师不见得全能教出来。而那些本质的思路，有的还存在学霸的脑子里不想写或写不出来呢！
这便是数学解题和数学游戏，乃至真正数学研究最本质的魅力。逻辑的大厦最初只有几条公理，然后以各种方式组合到一起以后，能推导出无穷无尽的定理和计算的结论结果。然后出题人把过程直接擦掉，让你把中间的推导过程连起来；或者定理的话，甚至一开始都是凭空想象的猜想，都不知道对还是不对。你在做思考决策的时候，还得首先根据模糊的经验模型去判断是否对，然后再集中脑力去思考，如果对的话，怎么架起已知到结论的桥梁。有时候没有其他已知的时候，其实还有整个数学领域的公理和已知著名不著名的定理都能用，这搜索范围可就太大了，如何快速模糊和精确检索结合最快地找到思路就很看功底了。而如果是不对，那就要考虑到底是用反证法还是直接举反例来证明等等。
好在，作为高中以前数学教育为目标的数学，都还局限在已知，已解决的范围内，哪怕有时候问题会以“吗？”结尾，其实是希望你像思考一个猜想一样通过经验判断可能的结论，再依照学过的公理，定理和逻辑来证明它。但是纯粹的数学问题就更难了，问题本身就是猜想来的，可能猜想者只考虑到了简洁，大概率成立，来自于一种数学灵感，但是要证明需要多少知识，结论到底对不对，这都是不设限制的。
所以，如果用机器学习模型来看待数学研究或者解数学题的过程，约摸可以看作解题过程中的思路连接是出题人抹掉的，需要你把这些隐含变量估计出来。所以平常的解题训练，无非就是按照解题的状态模型，学习各种题目条件的特征，可能方向的估计模型，并学习决策过程，整个过程都可以以题目的标准答案为监督数据，比拼的就是谁的样本大，训练准确，思考得深而对应有更深的网络抽象出更本质的解题特征。等训练好你的大脑了，那自然你能联想到的解题方向就会越来越像题目出题者的方向了。
比如，平面几何添加辅助线就是典型，刚好出题人帮你擦掉了，你要反向训练故估计哪里需要补辅助线。数学题抹去中间过程，一般剩下的，就一头的已知，加一头的结论，等待你去探究的。这也是数学证明相关的题最难的地方（计算也可以看作是因为时间限制，不允许你用某些复杂计算方法去计算的条件下，寻找其他方法路径并证明正确可行的过程。）。还好解题范围已知，真正拓展知识的边界才会真的没有方向。
最后记得不要过学习，过拟合到丑题的套路上，可能在模拟考试上被拿了锦囊妙计，但是高考绝对无空子可钻。这些判断，需要我们的大脑安全地浸润在学习的环境中，心无旁骛，方可习得。
像运动员一样模拟比赛
和所有优化问题一样，我们解数学题，也是受到环境限制的，典型的就是有限时间。不妨模拟一下我们在考场上思考的决策过程，要怎样才能尽可能提高下次遇到类似问题我们有能力解决它的概率呢？
无他，在有限的学习时间里，熟练构建其严谨的（直接应用），模糊的（特征判断），准确的（数值记忆）节点网络。当新的问题到来，我们保证我们的网络首先是有准确解的，并且实时优化效率的处理器能够优化在有限时间内分配时间的宏微观方案，并最可能地提升解出题目的期望。
这里就有一个大脑和机器不同的地方，就是它受到环境，身体心理状态的干扰很大。只有那种低级的死连接，可能无论怎么干扰都能本能反映出来，比如四则运算。但是一些需要创造力，模糊的，借助特征猜测的联想，能否想到，是否能积极去想，就会很受到各种因素的干扰，这也就是平常说的心态因素重要的原因了。大脑真的太金贵，要好好地善待才会给我们好的运行结果。
所以，最后一层优化器，就是去优化时间安排的决策，这需要估计自己每一个计算或者联想方向的执行选择是否能获得足够的得分收益，以及对接下来时间状态的保留是否有足够好的状态价值。没错，整个120分钟的考试像极了一次强化学习的决策，这个整体层面的能力训练，和单个题相比，同样重要。
解题学习案例模拟
说了这么多，最后给一个分析题目的例子：
计算：
(1/2+1/3+1/4+1/5)*(1/3+1/4+1/5+1/6)-(1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)*(1/3+1/4+1/5)
给人类足够长时间或者AI的算力，这自然没什么难度，难点在于给定的时间和人脑算力下，如何化简它。这里本质上考察的是代数的乘法分配律，是做多项式运算的基础。但是做之前应该知道，直接做，无论是通分以后再顺序计算，还是当作不同的项，计算量都是很大的。但是有一定特征观察能力的我们就会发现式子里出现多次的(1/2+1/3+1/4+1/5)和(1/3+1/4+1/5+1/6)，再敏感一点能发现两个相乘括号里的值得和是相同的，这意味着式子差不多是ab - (a + x)(b - x)的形式，显然这里x = 1 / 6，代数计算以后，得(a - b + x)x = 1 / 12。
你看，如果世界上光有个这样的实际问题要解决，显然计算器是最通用高效的做法。而实际上，数学题是在给定人脑算力和时间限制内，去要求你发现规律，在学过的数学性质的范围内高效解决问题的。比如这个题目考察了对式子敏感的观察力记忆力，最浅层的是(1/3+1/4+1/5)这个模式的反复出现，再高级点是前后乘积项的和相等，带来了在乘法结合律化简的可能，这需要联合类似eye span和大脑建立起的活跃和稳健的联系才能做到。有时候熟练度和逻辑是同等重要的，因为一旦你能很快地执行逻辑算出答案，你就对每条计算路径的可行性有信心，否则时间因素和心理因素都会导致心灰意冷。直接硬算的人则是没有计算复杂度估算能力，类似于没有足够的更高维度的对公式执行过程中的理解。
然而，这些题都是出题人生造出来的，实际生产生活中不可能有哪怕类似的问题；其次，实际条件不会限定使用计算器，这种考场环境对时间空间的要求，是一种特定能力的考察，并没有通用性。
所以，数学考试，它大部分时候的价值，真的只是一场好玩的游戏罢了。
在还不需要考虑纷繁复杂又无聊一致的人类真实生产环境之前，好好享用吧，毕竟，这心态，真的完全不可逆。
到这里，关于数学之美，在数学题其中的位置和怎样的题为美，以及针对本质的解题模型，以及训练方法，就全部讲完了。整体逻辑连续性还是很强的，建议回头完整看一遍，加深理解。
当你积累的思考最终构筑成大厦的时候，甚至只是有机会的时候，抓住这大脑进化的美妙时刻，并把它变成长期记忆存在自己的脑海里吧，这是未来你能拿来用的最宝贵的财富！在学习中一定要珍惜这些让你进化的时刻，大脑不是机器，碳基生物虽然暂时在思维层级上统治了硅基，可我们也没有硅基那样不疲倦的算力，我们碳基基础上自己思考模型的进化，也没有捷径！
下一篇，我们说回特征根公式，作为一个本系列首尾呼应的结尾。