【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结10(方差分析)

单因素方差分析

H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_n;\quad H_1:\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n不全相等

方差分析表

$$ \begin{aligned} S_A^2&=\sum\limits_{i=1}^{r}m_i(\bar{y}{i\cdot}-\bar{y})^2=\sum\limits{i=1}^{r}m_i\bar{y}{i\cdot}^2-n\bar{y}^2,f_A=r-1 \ S_e^2&=\sum\limits{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{m}(y_{ij}-\bar{y}{i\cdot})^2=\sum\limits{i=1}^{r}(n_i-1)S_i^2=S_T^2-S_A^2,f_e=n-r \ S_T^2&=\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{m_i}(y_{ij}-\bar{y})^2=\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{m_i}y_{ij}^2-n\bar{y}^2,f_T=n-1 \end{aligned} $$

一般来说，如果题目中没有告诉任何表中信息，通过先求S_A^2、再求S_T^2、最后求S_e^2的顺序求解。 S_e^2中S_i^2是每个因素的样本方差。

对给定的\alpha可作出如下判断：

1. 如果F>F_{\alpha}(f_A,f_e)
2. 若F\le F_\alpha(f_A,f_e)，则说明因素A不显著

关系强度

R表明了自变量与因变量之间的关系强度。

多重比较问题

若果上述问题拒绝原假设，即均值不全相等，那究竟是哪几个之间不相等？通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异。

多重比较方法有很多种，这里介绍费希尔提出的最小显著差异方法LSD，具体步骤如下：

1. 提出原假设和备择假设：H_0:\mu_i=\mu_j;\quad H_1:\mu_i\neq\mu_j
2. 构造统计量

1. 计算\bar{y}{i\cdot}-\bar{y}{j\cdot}和LSD，其中LSD计算公式为：LSD=t_{\frac{\alpha}{2}}(n-r)\sqrt{MS_e(\frac{1}{m_i}+\frac{1}{m_j})}
2. 根据显著性水平\alpha做出决策，如果|\bar{y}{i\cdot}-\bar{y}{j\cdot}|>LSD

双因素方差分析

检验假设： H_{01}:\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_r=0;\quad H_{02}:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_s=0

方差分析表

$$ \begin{aligned} S_A^2&=s\sum\limits_{i=1}^{r}(\bar{y}{i\cdot}-\bar{y})^2=s\sum\limits{i=1}^{r}\bar{y}{i\cdot}^2-rs\bar{y}^2,f_A=r-1 \ S_B^2&=r\sum\limits{j=1}^{s}(\bar{y}{\cdot j}-\bar{y})^2=r\sum\limits{j=1}^{s}\bar{y}{\cdot j}^2-rs\bar{y}^2,f_B=s-1 \ S_e^2&=\sum\limits{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{s}(y_{ij}-\bar{y}{i\cdot}-\bar{y}{\cdot j}+\bar{y})^2=S_T^2-S_A^2-S_B^2,f_e=(r-1)(s-1) \ S_T^2&=\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{s}(y_{ij}-\bar{y})^2=\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{s}y_{ij}^2-rs\bar{y}^2,f_T=rs-1 \end{aligned} $$

对给定的\alpha:

1. H_{01}的拒绝域为：F_A\ge F_\alpha(r-1,(r-1)(s-1))
2. H_{02}的拒绝域为：F_B\ge F_\alpha(s-1,(r-1)(s-1))

关系强度

R表明了两个自变量合起来与因变量之间的关系强度。