【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结3(二维随机变量及其分布)

版本：1.0.2 最近更新时间：2022年11月09日 16:32 修改次数：1 历史修改内容： 1.0.2 修改离散型条件概率密度公式 1.0.1 修改联合分布函数的性质公式

联合分布函数

性质： $$ \begin{aligned} &F(+\infty,+\infty)=1 \ F(-\infty, -\infty)=&F(x, -\infty)=F(-\infty, y)=0 \end{aligned} $$

二维随机变量边缘分布律

离散型

连续型

$$ \begin{aligned} P_1(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dy \ P_2(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dx \end{aligned} $$

注意： 不能由边缘分布求联合分布。

二维随机变量条件概率

离散型

连续型

$$ \begin{aligned} &Y=y: \ & \quad F_{X|Y}(x|y)=\frac{\int_{-\infty}^{x}f(u,y)du}{f_Y(y)} ,\quad f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \ &X=x: \ & \quad F_{Y|X}(y|x)=\frac{\int_{-\infty}^{y}f(x,v)dv}{f_X(x)} ,\quad f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} \ &f(x,y)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x) \end{aligned} $$

注意： 当 X、Y 相互独立时，F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) ，此时由边缘分布律可以唯一确定联合分布。

二维随机变量函数的分布

和分布（$Z=X+Y$）

$$ \begin{aligned} F_Z(z)&=\int_{-\infty}^{z}g(u)du \ g(u)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,u-x)dx \ f_Z(z)&=g(z)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx \end{aligned} $$

相互独立，则：

推广：

一般地，若X_i相互独立，Z=\sum a_iX_i

1. X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2) \Longrightarrow Z \sim N(\sum a_i\mu_i,\sum a_i^2\sigma_i^2)
2. X_i \sim b(n_i, p) \Longrightarrow Z \sim b(\sum n_i,p)
3. X_i \sim \pi(\lambda_i) \Longrightarrow Z \sim \pi(\sum \lambda_i)

最大最小值分布（$Z=Max、Z=Min$，$X、Y$相互独立）

\begin{aligned} F_M(z)&=P{M\le z} \ &=P{\max(X,Y)\le z} \ &=P{X\le z, Y\le z} \ &=F_X(z)F_Y(z) \end{aligned}

商的分布（$Z=\frac{X}{Y}$）

若X、Y相互独立，f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f_X(zy)f_Y(y)dy

差的分布（$Z=X-Y$）

积的分布（$Z=XY$）

总结： 二维随机变量函数的分布，一般解题步骤如下：

1. 先求 Z=g(X,Y) 的分布函数 F_Z(z)
2. f_Z(z)=F'_Z(z)