【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结6(抽样分布)

统计量

样本均值：\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i

样本方差：S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2

样本k阶原点矩：A_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k

样本k阶中心矩：B_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^k

A_1=\bar{X} B_2=\frac{n-1}{n}S^2=S^2_n \Longrightarrow nS^2_n=(n-1)S^2=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2-n\bar{X}^2

性质：

1. E(\bar{X})=E(X),D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}
2. E(S^2)=\sigma^2,E(S_n^2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2

经验分布函数：F_n(x)=\frac{m(x)}{n}, m(x)为样本小于x的个数。

次序统计量

顺序统计量：X_{(1)}=\min\limits_{1\le k\le n}{X_k},\quad X_{(n)}=\max\limits_{1\le k\le n}{X_k}

极差：D_n=X_{(n)}-X_{(1)}

密度函数

的密度函数：

标准正态分布

X \sim N(0,1)

上\alpha分位点：P{X>Z_\alpha}=\alpha,P{X\le Z_\alpha}=1-\alpha

\Phi(Z_\alpha)=1-\alpha, Z_{1-\alpha}=-Z_\alpha

卡方分布

X_1,X_2,\cdots,X_n独立同标准正态分布，\chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2 \sim \chi^2(n)

\chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 \sim \chi^2

X_1 \sim \chi^2(n_1), X_2 \sim \chi^2(n_2),则X_1+X_2 \sim \chi^2(n_1+n_2)

\chi^2分位点：P{\chi^2>\chi^2_\alpha(n)}=\alpha

t分布

相互独立，则：

分位点：

当n>45t_\alpha(n)\approx Z_\alpha

F分布

\begin{aligned} F=\frac{X/n}{Y/m} \sim F(n,m) \ \frac{1}{F} \sim F(m,n) \end{aligned} 分位点：P{F>F_\alpha(n_1, n_2) }=\alpha

随机向量

\eta=(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)', X=(X_1, X_2,\cdots,X_n)'

\eta=AX, A=(a_{ij})_{n\times n}

E\eta=A(EX), D\eta=A(DX)A'

样本均值和样本方差的分布

单个正态总体

X_1,X_2,\cdots,X_n来自正态总体N(\mu,\sigma^2)，则：

两个正态总体

X_1,X_2,\cdots,X_n来自正态总体N(\mu_1,\sigma_1^2)，Y_1,Y_2,\cdots,Y_m来自正态总体N(\mu_2,\sigma_2^2) ,则：

若\sigma_1=\sigma_2，则：\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)

X_1,X_2,\cdots,X_n来自正态总体N(\mu_1,\sigma^2)，Y_1,Y_2,\cdots,Y_m来自正态总体N(\mu_2,\sigma^2) ,则：