【贝叶斯决策分析案例】：价格猜猜猜

提要

哈喽，大家好！这一期将给大家介绍一个贝叶斯决策分析理论的应用案例。即如何应用贝叶斯理论，在美国流行的综艺节目“The Price is Right”中的“ShowCase”环节中帮助选手给出最优的出价策略，进而赢得比赛并得到最大的奖励（Double ShowCase Winner）。

TL;DR

1. 介绍一下美国流行综艺节目“The Price is Right” 中 “ShowCase” 环节的游戏规则。

2. 讲解如何应用贝叶斯理论帮助参赛选手做出最优的价格决策。

3. 用 Python 实现这一个决策过程。

一、价格猜猜猜（The Price is Right）

“价格猜猜猜”（The Price Is Right）是美国历史上风行时间最长的一档电视节目，该节目包含100多个游戏，每一个游戏都是建立在一个问句的基础上：“这样东西值多少钱？”这个简单的公式在长达30多年的时间里吸引了无数粉丝。

1.1. SHOWCASE 环节

通常在节目“The Price is Right”的最后，会有一个 ShowCase 环节，两名选手猜测奖品价格，谁猜的准（详细规则一会再讲），谁就能赢得奖品。

先来看一段我从油管搬运的诞生了一位 “Double ShowCase Winner” 的 “ShowCase” 环节视频（生肉），了解一下这个环节是怎么玩的。

1.2. SHOWCASE 游戏规则

下面我将详细介绍一下 SHOWCASE 环节的游戏规则：

• 有两个玩家：PlayerA、PlayerB。
• 有两组展品：ShowCaseA、ShowCaseB。
• 选手的目的：猜测展品的总价格。
• PlayerA 有权选择竞猜哪一组展品，PlayerB 则必须猜剩下的那一组。（注：视频中的PlayerA（右手边）即选择ShowCaseA由PlayerB来猜）
• 两个玩家的竞猜价格可以相同（注：毕竟猜的东西不一样）。
• 赢的玩家，会获得他所竞猜的那一组展品作为奖品。
• 只有 竞猜价格 <= 展品价格 的选手才有可能赢。
  • 如果 某玩家的竞猜价格 > 展品价格，则该玩家输。
  • 如果 两玩家的竞猜都满竞猜价格 <= 展品价格，则谁猜的准，谁赢。
  • 如果 某玩家不仅赢了，而且他的 竞猜价格 与 展品价格 之间相差 <250 美元，则该玩家是 Double ShowCase Winner，将同时赢得两份展品作为奖品。

二、贝叶斯思维，能帮我们做什么？

1. 在看到奖品之前，玩家应该对展品的价格有什么样的先验分布？
2. 在看到奖品之后，玩家应该如何更新先验，得到后验分布？
3. 根据得到的后验分布：
   1. 玩家应该出价多少，才能让自己赢的概率最大？【决策分析】
   2. 玩家应该出价多少，才能让自己的获益最大？【决策分析】

2.1. 先验分布（Prior）

我们可以使用 The Price is Right 节目 ShowCase 环节的历年竞猜数据，作为我们的先验数据来源。

我选用的是 2011 和 2012 两年的 ShowCase 环节竞猜数据（共313条）。

接下来用 Python 读取 csv 文件中数据，供进一步分析：

然后我们可以用核密度估计（KDE，kernel density estimation）方法来估计两选手展品价格（price1、price2）的概率密度函数（PDF，probability density function）以及概率质量函数（PMF，probability mass function）。

2.2. 假设（hypo）与数据（data）

为了计算后验分布，需要先回答两个问题：

• 数据是什么？怎么量化？
• 假设又是什么？怎么得到似然函数？

为了回答这个问题，我们将对玩家（Player）进行如下建模：

• 玩家是“误差（error）特性已知的价格猜测仪”：
  • 展品真实价格为price，玩家观察到展品后，会先在心中猜测一个价格guess，然后进行出价bid，因为玩家的出价是有策略的（因为：出价必须比真实价格低，否则就输了）。
    • error = guess - price
    • diff = bid - price
  • 这个误差的分布符合正态分布（Normal Distribution）。
  • 平均来看，玩家的猜测是准确的（即：误差均值μ可假设为0）。
  • 玩家对展品价格猜测的误差离散程度，与玩家的出价的离散程度一致（即：σ(error) = σ(diff)）。

下图展示了玩家出价误差diff = bid - price的PMF。

然后我们计算玩家估价 error=guess-price 的PDF：

注：虽然概率密度函数的函数值并不是概率，但它与概率是成比例的，所以我们可以把它当做似然函数，用在后续的贝叶斯后验分布的计算中。

2.3. 后验分布（Posterior）

假设你是玩家1，当你看到你的展品后，你对展品价格的猜测是 23,000（注：即数据），并利用前面得到的似然函数计算后验分布。

假设你是玩家2，当你看到你的展品后，你对展品价格的猜测是 38,000（注：即数据），并利用前面得到的似然函数计算后验分布。

三、决策分析

3.1. 胜率

假设你是玩家1，玩家1出价后，有以下几种情况可以赢：

• 玩家2的出价高于展品价格。
• 玩家2的出价没有玩家1的出价准。

3.2. 怎么出价最有可能赢？

在上一节中，我们计算了获胜的概率，假设我们的出价低于特定的金额。

事实上，参赛者不知道自己的出价低了多少，因为他们不知道实际价格。

但他们确实有一个后验分布，代表了他们对实际价格的信念，他们可以用它来估计他们在给定出价中获胜的概率。

3.3. 怎么出价收益最大？

在上一节中，我们计算了最大化您获胜机会的出价。如果这是你的目标，我们计算的出价是最优的。

但胜利并不是一切。请记住，如果您的出价低于250美元，您将赢得两次展示。因此，稍微提高出价可能是个好主意：这会增加你出价过高和失败的机会，但也会增加赢得两场比赛的机会。

参考：

《贝叶斯思维》第6章 决策分析 Decision Analysis： https://allendowney.github.io/ThinkBayes2/chap09.html#the-price-is-right-problem Showcases.Wiki： https://priceisright.fandom.com/wiki/Showcases The Price is Right Stats： https://web.archive.org/web/20121107204942/http://www.tpirsummaries.8m.com/ kde（内核密度估计）： https://mathisonian.github.io/kde/

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