你真的懂分数吗？（一）——分数的数学结构和建模

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我们小学就学过分数，是指的形如“a / b”的，表达把某对象平均分成b份中的a份那么多的含义的数。自然地，a, b一般都是整数，b != 0；如果a，b仍然是分数的话，也可以等价变形成是整数的式子；如果其中有负整数，则表达的方向概念和整数相同，并且依然负负得正；它和原来的整数一起构成有理数，可以一起参与四则运算满足交换结合分配率。

整个分数部分的知识点大概就这么多了，到了中学阶段出现了分式，从计算具体的数变成了一类式子的推导，高中以后除非是数学竞赛，对这块的知识就没有更深的拓展和应用了。

但是，我们的孩子在学习分数等概念的时候，经常是熟练有余，理解不足。背下来了运算法则和解题套路，但根本上对这些符号所代表的物理意义并不清晰。为了短期考试成绩提升熟练度的浅层记忆无可厚非，但是这样囫囵吞枣的学习拉长到10年的学习跨度依然会遇到瓶颈。那就是计算机执行式的数学学习方法，难以让数学成为人一生真正傍身的武器。所以，我一直推崇长短期目标兼顾，解题技巧和训练交给学而思，而我希望每个孩子也有机会理解数学和生活，学习，科研甚至以后工作的各个方面的关系，能终身受益。

这种学习数学的方法我称为数学模型，即对所有数学概念的理解从数学建模和数学结构两个角度分别理解并联系起来，达到无论是应用还是理论都融会贯通的目标。由此在遇到实际问题时才能顺利地通过数学模型映射回数学问题并求解，再完成实际解答。今天我们就以分数为例，来实践示例一下这个方法的学习成果。

分数的数学结构

公理化前提

Z

公理化定义

符号定义：

F = {(a, b) | a, b in Z, b != 0}

f = a / b = a * b ^ - 1，f in F

f1 = a1 / b1

f2 = a2 / b2

公理化性质：

f1 + f2 = (a1 * b2 + a2 * b1) / (b1 * b2)

f1 * f2 = (a1 * a2) / (b1 * b2)

分数的加法和乘法分别满足交换律和结合律，以及*对+的分配律；

f1 = f2当且仅当a1 * b2 = a2 * b1

数学问题和逻辑推理

约分定理：

附加条件：a, b, m in N, m, b != 0

结论：am / bm = a / b

逻辑推理：因为a * bm = am * b（乘法交换和结合率），所以结论成立（=等价关系的定义）。

符号说明

F：全体分数

f, f1, f2：某个分数，是F的代表元素

a, a1, a2：某个分数的分子

b, b1, b2：某个分数的分母

分数的数学建模

实际对象和关系from符号定义：

a（b）：任何不区分顺序关系，个体特点的整体都可以看作集合，其大小定义为数量a；其中每个a又可以看作由假想的n个同样不作区分的单位组成，负值表示某个一维方向，比如借入或借出，前进或后退；

a / b：现在要把a集合公平地分成b个大小相等的集合（这里是等分除法，等价于每个集合大小为b的分法是包含除法只有在整除或带余除法时才有意义，暂略），想计算或预测每个集合的大小，由多少个单位组成，记作a / b；

定律from公理化性质：

集合合并定律：在对多个集合的对象进行汇总的加法，复制的乘法时，与操作顺序无关，乘对加的分配律成立；

集合拆分合并定律：任意集合元素都可以等分，不同等分元素的加法需要等分到公倍数后进行，它们的加法和乘法仍然和操作顺序无关，且乘对加的分配律依然成立；

等分定律：把a1集合等分b1份和a2集合等分b2份，如果a1 * b2的大小和a2 *b1相同，则每一份大小都相同；

实际问题from定理：

约分定理：把大小为am的集合等分成bm份和把a大小的集合分成b份的每份最小单元的份数是相同的；

说明from证明：

约分定理说明：把am集合的每m个元素两两互斥地组成集合，共a个，那么它分到b个集合中时，其中每一份都对应于把a大小的集合分成b份的的m个单元，于是再把m个单元分开，那每一份就和后者的结果一一对应了，因此每一份的基本单元个数相同，说明完毕。

数学结构和模型的结构说明

由于是第一次提到用数学模型来学习数学概念，这里作一说明。

其中数学结构由公理化、定理和证明组成；而数学建模则是这些数学结构到实际中的映射。其中符号定义是数学结构单元和关系到实际对象和关系的映射，一般还要用符号说明表示其用自然语言描述的和实际对象的关联；公理化性质则一般来源于物理实际，从置信度增加一般有假设，规定，常识和定律；定理在实际空间中就是实际问题，都包括数学和实际的条件和问题，其证明有完全基于数理逻辑的符号化表述，自然也可以用自然语言映射过来表达和说明，只是它必须能映射回定理才能保证一定正确，否则容易有歧义和错误。

但是，我猜是历史原因，大多现实生活中的说理论证，也是用自然语言直接表达的，哪怕是critical thinking的思维下，这仍然包含着大量的逻辑问题，但直接用数学语言的成本实在太高，因此我觉得人类的通信自然语言还真是处于一个初级阶段。不过，自然语言已经有使用线性结构，包含隐含语义，知识等特性，使得在一定精度损失下保持了不错的效率，这仍然值得称赞。甚至当下大部分时候比直接全部用数学语言表达来得理解效率高很多，可能这是碳基生物本身的特点，但不代表这是终极方案。

篇幅和难度控制原因，这里除了分数需要用到的基本的公理化定义以外，其公理化前提就仅仅写了整数集合Z，即站在Z的肩膀上做事，并没有再去论述基于集合论论证自然数，整数的存在性和结构了。这个推演是无止境的，必须要在不同级别的数学中从中间抽一段当作公设甚至是常识来使用，而在更高一个级别的数学里，它可能是其他数学结构的公理化下的定理。比如欧式几何中，勾股定理就是漂亮的定理，而在现代欧式空间的数学结构中，基本就是直白的公理化性质；又比如机械能守恒定律被当作公理，动能定理则被推导出来，反过来写也对；动量守恒定律先成立，推导出冲量定理，而牛顿运动定律成立，推导出动量守恒。甚至在更高一层面的数学中，这些都可以看作等价的表述。

而定理和证明只举例讲了约分定理。其实关于分数的计算中，我们还有很多法则都是可以基于其基本的公设和定义推导的，比如通分法则，除法法则，加减法公式，甚至列项公式等等，都可以根据我们设定的最基本的定义和公设推导出来。有兴趣的同学不妨自己推导一番，尤其是各种分数的计算技巧，背后都是可以严谨证明成立的。

这就是分数的数学结构和数学建模结果的呈现。而学习的过程，还需要现实世界和数理逻辑不断地像上面这样建立链接，并不断分析、推理和实验，找出最精准的那个映射以连接数学结构和物理世界。这样的学习有两个作用，1是因为这个思考过程会成为具象的经验留在脑子里，因此以后判断能否使用这样的数学模型以及如果不适用可能可以怎样继续观察得到更合适的模型就能适应性地调整，这才是真正的用数学分析和解决问题的能力；2是经历这个自然地从具体到抽象的认知过程时，就会形成某种数感，来帮助给抽象正确但不知走向何方才是的抽象推理提供灵感，也不至于因为规则的记忆模糊就犯低级的逻辑错误，多了一层校验，它和实际经验定律一起形成人的认知。

在一般的学习中，习惯性地没有严格地把数学结构和数学建模部分拆分开来。在第一次的学习中，我也不建议拆开，因为以点到面，从具体到抽象，这是碳基生物体验和掌握知识能力的规律，没必要打破它。但是，如果学到最后，还是把结构和建模杂糅在一起，整个推演的逻辑系统，即整个数学模型，还是一个网状散乱，四处漏风而不严谨的大厦，我觉得就不合适了。而读书到今天，面对曾经学过的那些数学，是时候站在更高的山峰俯瞰一番了。

今天开了个头，从下期开始，我们用这套完整的分数模型，来进一步深刻认识学习和生活中各种各样的分数。

不要走开，精彩继续！