数字在计算机中的表示

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基本概念

单位概念

位（bit）：计算机中最小的数字单位，是“二进制数字”（binary digit）的缩写，它只能取 $0$ 或 $1$ 两个值，因此bit被称作“二进制位”。

字节（byte）：$8$ 个bit组成 $1$ 个字节（byte），通常也是计算机中最常见的数据大小单位，用于表示 $8$ 个二进制位的数字或字符。

在计算机中，一个bit指的就是一个二进制位，即最小的数字单位。

二进制表示

例如：

• 在计算机中，$7$ 被表示为 $0000,0111$。其中，每四位加入 , 便于区分位数。

具体地：

• $0000,0111$ 表示的二进制数字是 $00000111$。
• 其中，前四位 $0000$ 表示十进制下的 $0$，后四位 $0111$ 表示十进制下的 $7$。
• $0\times2^7+0\times2^6+0\times2^5+0\times2^4+0\times2^3+1\times2^2+1\times2^1+1\times2^0=7$
• 该表示法将数字 $7$ 以二进制形式表示，并在前面补上了 $0$，使其达到了 $8$ 比特位（bits）的宽度，常常使用这种形式来表示计算机存储的二进制数。

按照上述过程，理论上一个字节（8个bit位）最大表示的数值范围为：

• $0000,0000(0) \sim 1111,1111(255)$。

原码、反码、补码、移码

由于现实计算中不仅存在正数，还存在负数，因此按照上节中将一个字节中所有位都用来表示数是不合理的。

因此，在一些语言中区分了有符号数和无符号数，像上节中表示的是无符号数的表示方法。

原码表示法

在使用原码表示法时，二进制数的最高位表示符号位，$0$ 表示正数，$1$ 表示负数。

以使用 $8$ 位二进制原码为例，表示 $-7$ 的二进制原码的步骤如下：

• 将 $7$ 的二进制表示转换为 $8$ 位二进制数的原码： $0000,0111$。
• 将该二进制数的符号位取反，即将第一位由“0”变为“1”，得到：$1000,0111$。

因此，在 $8$ 位二进制原码表示法中，$-7$ 的二进制原码为 $1000,0111$。

按照上述过程，在原码表示下，理论上一个字节（8个bit位）最大表示的数值范围为：

• $11111,1111(-127) \sim 0111,1111(127)$。

需要注意，这种方式的缺点是正数和负数的加减法需要额外处理符号位，较为复杂。

例如计算：$-1 + 1 = 1000,0001 + 0000,0001 = 1000,0010(-2)$

怎么会是呢？？？显然是不对滴，因此我们又引入了反码。

反码表示法

反码是一种用于计算机中表示负数的二进制数表示法。在反码中：

• 正数的反码与其原码相同；
• 而负数则取其对应正数的原码每一位取反（0变为1，1变为0）得到。
• 反码最高位仍作为符号位，0表示正数，1表示负数。

以使用 $8$ 位二进制原码为例，表示 $-7$ 的二进制反码的步骤如下：

• 将 $7$ 的二进制表示转换为 $8$ 位二进制数的原码： $0000,0111$。
• 将该二进制数的每一位取反，即将所有的位由“0”变为“1”，得到：$1111,1000$。

因此，在 $8$ 位二进制反码表示法中，$-7$ 的二进制反码为 $1111,1000$。

现在计算：$-1 + 1 = 1111,1110 + 0000,0001 = 1111,1111(反码)$

注意：反码直接计算的结果需要取反才能得到原码，因此对 $1111,1111$ 的非符号位全部取反得到 $1000,0000(-0)$。

显然是对的吧，数值是对了，但是出现了“+0”和“-0”的问题，依然不合理，因此我们最终引入了补码。

补码表示法

补码是一种计算机中表示有符号整数的二进制数表示法，也是一种将负数转化为正数的方法。在补码中：

• 正数的补码与其原码相同；
• 而负数则为其二进制反码加一。

以使用 $8$ 位二进制原码为例，表示 $-7$ 的二进制反码的步骤如下：

• 将 $7$ 的二进制表示转换为 $8$ 位二进制数的原码： $0000,0111$。
• 将每一位取反得到反码：$1111,1000$，然后末位 $+1$ 得到：$1111,1001$。

因此，在 $8$ 位二进制反码表示法中，$-7$ 的二进制补码为 $1111,1001$，由于 $-6$ 的二进制补码为 $1111,1010$，故我们将原本为 $1111,1000$ 表示为最小值 $-8$。

按照上述过程，在补码表示下，理论上一个字节（8个bit位）最大表示的数值范围为：

• $1000,0000(-128) \sim 0111,1111(127)$

现在计算：$-1 + 1 = 1111,1111 + 0000,0001 = 1,0000,0000$，其中多出来的一位 $1$ 由于超过了补码的表示范围，故造成了溢出，最终的计算结果为 $0000,0000(0)$。

由此，我们通过补码可以将两个数的减法运算变为加法运算，但是由于符号位的存在，补码很难直接判断真值大小，因此引入移码的概念。

移码表示法

移码是一种为了方便计算二进制浮点数而设计的表示方法：

• 将每个真值加上一个偏置值，再进行存储；

举例：

例如 $x$ 的真值为 $10100$：

$x = 10100,[ x ]_移 = 2^5+10100 = 1,10100(用,分割符号位)$

$-x = -10100,[ -x ]_移 = 2^5-10100 = 0,01100$

当 $x = 0$ 时：

注意：

• 移码与补码只差一个符号位，符号位取反两者就能相互转换。

证明：

• 正数：$[ x ]_ 移 = 2^n + x$，相当于在第 $n$ 位 $+1$，即在符号位取反。
• 负数：

，也相当于符号位取反。

IEEE 754 标准

根据国际标准 IEEE 754，任意一个二进制浮点数 $V$ 可以表示成下面的形式： V = (-1)^S \times M \times 2^E

• $(-1)^S$ 表示符号位，当 $S=0$，$V$ 为正数；当 $S=1$，$V$ 为负数。
• $M$ 表示有效数字，大于等于 $1$，小于 $2$，但整数部分的 $1$ 不变，因此可以省略。（例如尾数为 $1111010$，那么 $M$ 实际上就是$1.111010$，尾数首位必须是 $1$，$1$ 后面紧跟小数点，如果出现 $0001111$ 这样的情况，去掉前面的 $0$，移动 $1$ 到首位，随着时间的发展，IEEE 754标准默认第一位为 $1$，故为了能够存放更多数据，就舍去了第一位，比如保存 $1.0101$ 的时候， 只保存 $0101$，这样能够多存储一位数据）
• $2^E$ 表示指数位。（用于移动小数点，所以说才称为浮点型）

比如， 对于十进制的 $5.25$ 对应的二进制为：$101.01$，相当于：$1.0101 \times 2^2$。所以，$S$ 为 $0$，$M$ 为 $1.0101$，$E$ 为 $2$。因此，对于浮点类型，最大值和最小值不仅取决于符号和尾数，还有它的阶码，所以浮点类型的大致取值范围：

• 单精度：$±3.40282347 \times 10^{38}$
• 双精度：$±1.79769313486231570 \times 10^{308}$