你真的懂分数吗？（三）——带分数到小数到百分数

今天我们继续通过更多例子来看看分数模型的更多不可思议的应用。

带分数

在实际场景中，在均匀分割假设成立的情境下，很多时候分的不是一个单元，大概率结果不是真分数，因此就存在大于1的分数的表达问题。我只有知道2个人分5个蛋糕是每人2 + 1 / 2个蛋糕，才能帮助我给一人2个，再把最后一个对半切开各自拿一个这个结论，这恰好源自带分数的使用场景。这远比其5 / 2的原始表达式有用，因为按照定义，那需要把5个蛋糕全切了才能分得清。

这个在数学上也有解释，那就是分数的加法，等价于约分，自然就可以这么拆成整数部分和小数部分，但这显然没有直接分蛋糕来得直观有效。

不过17头驴分给3兄弟，每人1 / 9,1 / 3, 1 / 2的话，先借一头分了再还的例子，仅仅是脑筋急转弯没什么价值，分数和都不为1，只是刚好能整除，借的刚好没用上，能分罢了。暂时也没想到这种把一个分数分成若干分子为1的分数的和有什么应用场景，因为分子为1除非是要表达赔率，概率等，并没有其他理解上的优势了。而那些繁分数，连分数等的意义就更加在于数学研究和游戏了，在生活中用得更少了。

小数

小数只是带分数的特例，和使用的进制编码密切相关。拿十进制举例，只有分数按照仅有2和5的2因子组成的数分割时，是有限小数，否则统统只能用无限循环小数表示。这很好理解，有限小数 = 整数 + 小数值，而小数值 = 小数部分编码整数值 / 10 ^ (小数位数)，无非是个固定分母分割值形式的分数罢了，而如果是循环小数，则分母改为(10 ^ (小数位数) - 1)，这个结论用分数的定义和竖式出发法很好说明。

至于无限不循环小数的无理数，也是一样，用小数来表达可以使得此分数值和真值的误差值一定小于10 ^ - (小数位数 - 1)，相当于不断地在已有的a元素中的m个单位，又划分为m2个单位，取其比真值小，但最大的那么多个单位给它。当m为常量时，这刚好就是进制数编码自然数的方法，用短除法就能实现，在小数部分自然也是一样。它能够有着随着小数位数的增加，和真实值的误差范围呈指数下降的特点，正是这样的误差性质，才使得我们用小数近似表达一个值得心应手，因为看位数就知道我之差1份的多少分之一，而且指数下降得也足够快，哪怕是2进制。而m变化的例子不是没有，比如我们的公历世纪，年，月，日，时，分，秒，看起来对一个整体时间的划分单位就毫无章法可循，但这却是为了和天文历法中发现的规律相吻合的实际考量，并非数学目标。

而实际问题往往严格来说都不符合数学里那些精确的定义，都受到测量精度，误差的限制。因此，这样用不断地划分进而使得误差不断小的循环思维就使得求解一个值给定精度要求的值并实现它成为可能，也能够在实验验证的场景下解决问题。比如测量血氧饱和度，单位到多少就不影响医生诊断疾病了；高楼的地基深度，精度到多少m就能通过检验了；甚至割圆法算圆周率本身也是这么个思路的扩展，只不过每多算一倍边的多边形，其无理数的复杂程度又会提高，而每次都无章可循，比牛顿的级数方法差多了。

所以，用小数来近似表达并承认为精确值的计算方法，是实际生活生产中几乎无处不在，屡试不爽的数学工具被反复应用的，早就经过了时间的检验，是可行而先进的。而这一切的初始思路，竟然来源于切蛋糕引发的分数模型。

百分数

一般分数在度量大小的时候有个最大的问题，当分母值奇形怪状，哪怕已经是最简分数，带分数，对其大小也丝毫没有认知。所以上述以精度作为标准的小数（或科学计数法）就横空出世，用给定的划分基数来统一度量，相互可比。这其中还有一类分数，它们大多时候指的是给定目标对象的值和总体的比，即其值一定在[0, 1]之间，也就是只有一个蛋糕。而且并不关心分几个人每个人多少的问题，就关心当下这个数，占总体的比例。比如点击率，留存率，升学率，就业率，甚至以100分为满分的考试分数，都归为此类。

其最大的优点是，在拉通了100作为统一的a的单元个数的基础之上，就像1一样，就没有大小意义和比较价值，但是统一对齐了；另外其作为整体和部分的比值，率的概念，在[0, 1]之内，就不会出现1230000%这样冗余无意义的表达；而且，因为我们太熟悉百分数的大小概念了，因为知道10分是1 / 10，50才一半，60分及格，以至于在上面的值是多少在心理的度量有非常多积累的生活经验帮助判断，甚至给你一个0.1234的小数，如果是率的概念，也会变成12.34%更看得明白。这就是率这种平均值，估计期望的最佳度量方式，符合了人们的心智。而一般的平均值，就还是用一般的小数去近似表达，然后忘掉分数均匀分割的意思直接用其数值大小计算结论吧！

总结

从带分数的整数和真分数部分的分离，到小数的近似表达功能，再到真分数用百分数表达的度量方便，分数在不同场景下都给人们的生产生活提供了无穷无尽充满智慧的数学工具。

你以为分数就这了？没了？

嘻嘻还没完，下期精彩继续！