你真的懂分数吗？（四）——赌博与赔率

今天我们接着聊分数在概率的描述中，是如何统计的，作为分数应用的巅峰结尾。

说到比1小的数，不得不提概率公理中所谓的sigma代数上的归一化测度。这个归一化测度，就是强行在样本空间上使得大家和为1，然后每个正数概率值自然就是[0, 1]的实数了，也可以用小数近似表达来使用。

那这种分数有什么特点，和原来分数的定义有何区别，我们往下看！

机会比

分数除了原始的均等划分的概念以外，很重要一个功能就是作为概率的度量结果的表示，因为那里把测度结果归一化为1，所有的值都是真分数。而如果一个事件的样本空间只有两个对立的元素，除了空集和全集外，也只有这两个单元素集需要度量概率的时候，我们除了用p和(1 - p)来度量二者的值，也可以用另外一个数p / (1 - p)来度量。

注意这在一定精度下p近似为有理数，这仍然是个分数，但是显然如果用最简分数来表达，这个数的理解并不比原来的p的最简分数好多少。比如告诉你你有21 / 25的机会能中奖，和告诉你中奖的机会比是21:4，这二者似乎也还是半斤八两。

于是用百分数加小数的方案自然可行，那里归一化的是分母，于是只用操心分子；我们沿用前面百分数的归一化思路，在机会比的基础上，把分子归一化为1，表示为1 / ((1 - p) / p)。其中分母用近似的小数表达。

赌博与赔率

那为什么是把分子化为1这么个奇怪的归一化方法呢？这就要说到赔率这个在赌博中非常常见的概念了，赌鬼们可能不知道分数的定义，但是对1赔几这个买卖是划算的，心理都非常清楚。因为最简单的赌博，比如猜大小，买胜负等，当作随机事件来看待，就只有赢和输两个对立事件，输了则亏掉赌资（不妨设为单位1，买多直接输赢都成比例计算即可），赢了则返还a元。赢和输的概率分别设为p和(1 - p)，作为投资而言，关心的是一次赌博的期望收益，它是各个盈亏情况下的概率加权和。那么这项投资的期望收益为p(a - 1) - (1 - p)，假设要不亏不赚，也可以写为a = 1 / p，而a - 1 = (1 - p) / p这正是这项赌局输的机会比以1为分子的分母值，因为一般赌博胜率不足0.5，所以这是个比1大的数。

即，当赌局给你开了一个1赔a的赔率的时候，这代表你能获胜获得返还事件的概率得是p = 1 / a时，才不亏不赚。或者换句话说，你也得平均赌a次，能赢一次，这样的赢的机会比，才算不亏不赚。所以，计算的逻辑变成了，先估算自己获胜的机会比，比如3次能赢一次，那么如果赔率a > 3，这是一场赌徒眼里有利可图，德州里说的正EV的决定，而a < 3，则不值得去赌了。

你问我多少次平均能赢一次，那这个以1为分子的标度应该比给一个具体的获胜概率p的小数或者百分数要直观，因此赔率和机会比的表达成了这种最简单的只有2个结果，要么亏掉本金，要么获取一个a的报酬的场景中的表达语言，我们只需要估计几次能赢一次就知道赔率对我们合适不合适了。不过注意，赔率虽然也是分数，但是它就单纯是赌博公司给定的值，并不是胜率也不是机会比。只是它和机会比以1为分子的分母（即输的机会比）加1的值大小，决定了期望上能不能赚钱。

你看，这个长得像分数的赔率，已经全然是个用分数表达的分布的数字特征，早就没有了所谓等分的概念，而是多少次中能赢一次的意思了，真的算是分数含义的灵活应用了。

注意，有的赔率公司给的赔率值1赔b，相当于1赔(b + 1)，这样b的值直接就是输的机会比，1 / b是赢的机会比，理解上相当于指的是赢的那一次的净收入是b，计算的时候，也只需要(b + 1)次能赢一次的机会比就够了，不过这种方式还是比较罕见的，并不为人们所习惯。

但是我计算这些东西一直犯迷糊，哪怕打了很久德州也没算明白，精确计算还是只记得概率，期望这些概念，要是想快速形成计算的感觉，还是可以在这方面的计算上形成更多的感觉才是。

如果赔率只是在赌博这样的二元结果的随机变量的描述中的特殊的概率描述形式，那么对于更复杂随机变量的概率，是怎么应用分数的概念来表达的，这和分数的原始表达，有怎样的区别呢？ 我们下期接着聊！