力学概念| 理解刚度(一)

fem178

发布于 2023-09-20 20:01:16

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发布于 2023-09-20 20:01:16

文章被收录于专栏：数值分析与有限元编程数值分析与有限元编程

考虑承受分布荷载的简支梁，其跨度

，挠度

\Delta

和固有频率

\omega

具有如下的关系：

\Delta = c_1L^4 \quad (1)

\omega = \frac{c_2}{L^2 } \quad (2)

其中

c_1,c_2

是有量纲的系数，这两个式子表明：

梁的变形与跨度的四次方成正比。
梁的固有频率与跨度平方的倒数成正比。

刚度描述了结构抵抗由外荷载引起的变形的能力。刚度

K_s

定义为作用在弹性体上的力

与位移

\Delta

的比值.

K_s = \frac{P}{\Delta } \quad (3)

因此，

(1)

和

(2)

也可写成

\Delta = \frac{c_3}{K_s} \quad (4)

\omega = c_4 \sqrt{K_s} \quad (5)

由此可见，挠度及固有频率与结构的刚度有关。刚度的定义提供了一种计算或估算结构刚度的方法，但是没有说明如何使结构变得刚度更大。如何设计一个较大刚度的结构(包括结构外形和杆件布置)是一个基础性的实际问题，它可能甚至要比如何分析结构受力更具有挑战性。

接下来进一步挖掘刚度的深层含义。

结构刚度的定义

考虑一个由

个杆件和

个节点组成的结构，结构外形和构件布置不受限制。为了确定某个节点沿给定方向的刚度，可在该节点上沿给定方向作用一单位力并计算相应的节点位移。则点刚度可定义为在作用方向上的节点位移的倒数。因此，该点刚度与单位力的用位置和方向有关;换话说，在不同方向上的某点刚度是不同的。结构沿给定方向上的刚度可定义为所有点刚度的最小值:

K = min{ \{ k_1,k_2,k_3, \dots ,k_n\} } \quad (6)

其中，

是结构刚度，

k_j

是第

个节点沿给定方向的点刚度，

是节点数。结构刚度也可表示为由单位力引起的沿力作用方向的最大位移的倒数:

K = max{ \{ u_1,u_2,u_3, \dots ,u_n\} } \quad (7)

其中，

是结构刚度，

u_j

是单位力作用在第

个节点沿荷载方向的位移，产生最大位移的节点称为控制节点。许多结构的控制节点是很容易确定的。例如，水平悬臂结构在竖向荷载作用下的控制节点是自由端;矩形简支板在分布载作用下的控制节点是板的中心。因此，在给定方向上的结构刚度可以通过在控制节点上沿该方向施加单位力来直接计算。

桁架结构的刚度

考虑一个由 s个杆件 n 个节点组成的桁架结构，在其控制节点上施加单位力。控制节点的位移与杆件内力可以通过虚功原理得出:

1 \times \Delta = \sum_{i=1}^s \frac{N_i^2L_i}{E_iA_i} \quad (8)

其中，

N_i

是作用在控制节点上的单位力引起的第

个杆的内力。

E_i

A_i

分别为第

个杆件的弹性模量和截面积。注意上式与结构力学中求位移的公式的区别，这里都是相同的单位力。(8)提供了一种计算接结构变形的基本方法，可在许多文献中查到。根据(7)给出的定义，结构刚度是单位用下控制节点位移的倒数，得

K = \frac{1}{\Delta}=\frac{1}{\sum_{i=1}^s \frac{N_i^2L_i}{E_iA_i} }=\frac{1}{\sum_{i=1}^s N_i^2 \delta_i} \quad (9)

其中，

\delta_i = \frac{L_i}{E_iA_i}

是第

个杆的柔度。增大刚度 K可通过减小

\sum_{i=1}^s N_i^2\delta_i

来实现。这个求和式中的各项特点可概括为:

\delta_i

大于0.

N_i

可以为0。

N_i^2

大于或等于0,无论杆件受拉还是受压。

因此，为了使

\sum_{i=1}^s N_i^2\delta_i

尽可能小，可从数学角度得出三个结论: (1) 使尽可能多的求和项为零。(2)任意一个求和项都不应该显著大于其他求和项。(3) 所有非零求和项都应该尽可能的小。这里，(1)和(3)是显而易见的，对于(2)，来看下面的三组算例，考虑三组数据，每组包含五个数，如表 1所示：

表1反映了组内数据差值对平方和的影响。这三组数据的和是相同的，但每组五个数间的最大差值是不同的，因此这三组数据的平方和是不同的。可以看出，三组数据中五个数间的差值越大，其平方和也越大。

由上述三条结论可导出以下三个结构概念:

如果在承受某一特定荷载的结构中有许多杆件的内力为零，则荷载不通过这些杆件而被传递到支座，即荷载会沿着较短或较直接的传力路径到达支座。这说明较短或较直接的传力路径会形成一个刚度较大的结构。
如果杆件的内力的绝对值

|N_i|(i=1,2··,s)

是相近的，则形成较大的刚度。换句话说，较均匀的内力分布会形成一个刚度较大的结构。

如果

|N_i|(i=1,2··,s)

的值小，则意味着内力(拉力或压力)小。换句话说，较小的内力值会形成一个刚度较大的结构。

梁式结构的刚度

对于一个以受弯为主的梁式结构，有类似于(8)的表达式：

1 \times \Delta = \sum_{i=1}^s \int_0^{L_i}\frac{M(x)_i^2}{E_iI_i} dx \quad (10)

其中，

M(x)_i

是作用在控制节点上的单位力引起的第

个杆的弯矩。

L_i,E_i,I_i

分别为第

个杆件的长度，弹性模量和二阶面积矩。假定第

个杆的

E_i,I_i

为常数，由积分中值定理，有

\int_0^{L_i}M(x)_i^2dx=\overline M_i^2L_i

，则(10)可以写成

1 \times \Delta = \sum_{i=1}^s \frac{\overline M_i^2L_i}{E_iI_i} \quad (11)

上述(9)与(11)形式相同，分子中都包含了内力的平方项，因此由桁架结构得出的三个关于刚度的结论也可以扩展到梁式结构。

从式(8)(11)可以看出，如果大跨度桥梁由梁式改为桁架式，虽然增加了杆件数量，但这只是简单相加的线性增加量。而跨度增加造成弯矩M以二次方的速度增加。所以，加斜撑成了大跨度桥梁中不假思索的选择！

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原始发表：2023-09-14 11:10，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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