机械臂运动学整理

刚体运动状态描述

空间中的刚体

空间中的刚体，要描述其状态一般需要6个参数，3个平动参数，3个转动参数，分别对应着世界直角坐标系的三个轴X,Y,Z。

整合表达刚体的状态：在刚体上建立坐标系刚体系(body frame)，坐标系的原点建立在刚体的质心上。这里需要注意的是，该坐标系的坐标轴不一定与世界直角坐标系的坐标轴平行。

刚体平动时，由刚体系的原点位置来判定；刚体转动时，借由刚体系相比于世界坐标轴的姿态来判定。

当然这样的表述只能表述某一个时刻刚体的状态，而我们将刚体整个运动轨迹中各个时刻的这些状态参数全部记录下来

利用各个时刻平动参数对时间的微分，由位移就可以转换到速度和加速度等运动状态；利用各个时刻转动参数对时间的微分，由姿态就可以转换到角速度和角加速度等运动状态。

• 向量表达空间关系的两个方式
• 表达空间中的一个位置
  1. ​

1. 上式表达的是某一个刚体系的原点在世界坐标系中的位置。表达空间上的一个方向    ​上图表达的是刚体系的各个轴(X_B,Y_B,Z_B)也可以在世界坐标系中用向量来表示，它们只表示方向，在表示方向时，一般取模为1的单位向量。方向余弦(direct cosines)

方向余弦是指在解析几何里，一个向量的三个方向余弦，分别是该向量与空间直角坐标系的三个轴方向的余弦。

方向余弦矩阵：由两组不同的标准正交基的单位向量之间的方向余弦所形成的矩阵。可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基的关系。也可以表达一个向量对另一组标准正交基的方向余弦。

• 量化表达

平动：以向量

来描述刚体系{B}的原点相对于世界坐标系的状态。

我们以

来说明

我们对{B}的原点分别向世界坐标系中做投影，它们在X、Y、Z轴上的值分别为10、3、3。

转动：描述刚体系{B}对于世界坐标系的姿态——旋转矩阵(Rotation Matrix)

上图中，刚体系{B}的各个轴所指向的方向，可以由下式来表明

上式是一个矩阵，代表由世界坐标系{A}来表征{B}，该矩阵的每一列都是3维的列向量，代表{B}各个轴在{A}中的方向，整个矩阵就是一个3*3的样式，它就是一个旋转矩阵。

R的三个列向量即为刚体系{B}的在世界坐标系{A}的基，而且是一组正交基。(有关基的概念可以参考线性代数整理 中的空间的基以及线性代数整理(二) 中的正交基与标准正交基)。我们可以使用方向余弦来表述刚体的姿态。

我们假设世界坐标系{A}的三个坐标轴的单位向量分别为(A_1,A_2,A_3)，刚体系{B}三个坐标轴的单位向量分别为(B_1,B_2,B_3)。定义刚体系{B}与世界坐标系{A}坐标轴之间的方向余弦为

(a_{ij}=cosθ_{ij}=A_i⋅B_j)

因为(A_i,B_j)都是单位向量，模为1，所以上式成立。它可以表述为两个坐标系任意轴的全排列。故而

可以表述为

我们以下例来说明

上图中，蓝色坐标系为世界坐标系{A}，红色坐标系为刚体坐标系{B}，现在我们要求{B}相对于{A}的姿态

。

首先，{B}的X‘’轴与{A}的Z轴反向，故而

它代表{B}的X‘’轴在{A}的方向。

{B}的Y''轴与{A}的Y轴同向，故而

{B}的Z''轴与{A}的X轴同向，故而

因此{B}相对于{A}的姿态为：

因为{A}本身的值为((1,1,1)^T)。