三角函数与反三角函数的知识点
• y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是 x∈R • y = arctan x 与 y = arccot x 的图像关于直线 y = π/4 对称,相交与点 (1 ,π/4)
函数 1.1函数及其性质 映射:非空集合X、Y,若存在一个法则f,使X中每个元素x在Y中有唯一确定的数y与之对应,则称f为从X到Y的映射。 (单射、满射、双射、逆映射、复合映射) 函数:D为实数集,则映射 为定义在D上的函数。 (定义域对应的函数值只有一个的函数为单值函数,否则为多值函数) 疑问:多值函数(如: )为一对多的映射情况,可这种映射不符合映射的定义,故多值函数还算函数吗? 函数特性:单调性、有界性、奇偶性、周期性。 1.2 数列的极限 数列极限:设有数列 及常数a,若 ,当 时有 成立,则称a是数列 的极限或称 收敛于a。 记为 ,其几何解释为所有下标大于N的项都落在a的邻域内。 (数列极限的定义只能验证,不能求解) 数列极限性质:唯一性、有界性、保号性。 1.3 函数的极限 函数极限: (1) 自变量趋于无穷大时 设f(x)定义在 上,A是一个确定的数, 若 ,使当|x| > X时,恒有|f(x) - A|<,则称A是f(x)当时的极限。 记为 (2) 自变量趋于有限值时 设f(x)在 的某去心邻域内有定义,A是一个确定的数, 若 ,使当 时,恒有|f(x) - A|< ,则称A是f(x)当时的极限。 记为 (左极限、右极限) (函数极限证明通过定义,与数列极限证明同理) 函数极限性质:唯一性、局部有界性、局部保号性。 1.4 极限的运算法则 函数极限四则运算法则:若 , , 则 (1) (2) (3) 数列极限四则运算法则:与函数法则同理。 复合函数极限运算法则: 常用结论: (1) (2) (3) (4) (5) P(x),Q(x)为多项式函数,求 若 ,则 若 , 则把P(x),Q(x)因式分解约去公因式后再处理 若 , , 则 (6) 一般地,当 ,m和n为非负整数时有 (分子分母同除 ) 当n=m, 当n>m, 0, 当n<m, 当 1.5 极限存在准则 两个重要极限 (1) 夹逼准则:在给定的变化过程中,如果g(x),f(x),h(x)满足 ① 则 ② (2) 单独有界准则:单调有界数列必有极限(单调递增(减)数列只需上(下)有界) (3) Cauchy收敛准则:数列{undefined }收敛的充分必要条件时 ,使得当 m > N , n > N时,有 。 满足上述条件的数列也称Cauchy数列或基本数列。 (4) 第一重要极限: (5) 第二重要极限: 1.6 无穷小与无穷大 无穷小:若 , 则称f(x)当 时为无穷小。(如 ) 若 ,当 时 |f(x)| < ,则称f(x)当时为无穷小。 (1) 数 “0” 是无穷小量。 (2) 无穷小并不是一个很小的数,其是一类特殊函数,是在某一变化过程中极限为0的函数,并且在一个过程中为无穷小的量在另一过程中可能不是无穷小量。 (3) , 其中 。 无穷大:若 ,则称f(x)当 时为无穷大。(如 ) 若 ,当 时 |f(x)| > M,则称f(x)当时为无穷大。 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆。 (2) 切勿将 认为极限存在。 二者关系:在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则 为无穷小。反之,如果f(x)为无穷小,且 ,则为无穷大。 定理:(1) 有限个无穷小的代数和(乘积)仍为无穷小(无限个无穷小的代数和未必是无穷小;n 个 为1)。 (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 (3) 有限个无穷大的乘积是无穷大(两个无穷大的和与差不一定是无穷大;) 。 (4) 无穷大与有界函数之和是无穷大(无穷大与有界函数乘积不一定无穷大;)。 无穷小阶:设 , 且 。 (1) 如果 , 就说 是比 高阶的无穷小; (2) 如果 , 就说 是比 低阶的无穷小; (3) 如果 , 就说 与 是同阶的无穷小; (4) 如果 , 就说 与 是等价的无穷小; (5) 如果 , 就说 是 比的k阶的无穷小; 等价无穷小替换定理:设 , 且 存在,则 。 (1) 等价无穷小代换只适用于乘积中(代数和或复合函数不可应用); (2) 常用等价无穷小(当 时) sin x~x , tan x~x arcsin x~x arctan x~ x ln(1+x) x -1~x 1-cos x~ 1.7 函数连续 函数连续定义:设函数y=f(x)在点 的某一邻域内有定义, ,则函数f(x)在 处连续。 ① 在x= 处有定义。 ② lim f(x)存在,lim f(x)=f( ) 函数间断定义:①在x= 没有定义; ②虽在x= 有定义但lim f(x)不存在; ③虽在x= 有定义且在lim f(x)存在,但lim f(x)≠f( )。 函数间断点的分类:第一类间断点,第二类间断点。 第一类:无穷间断点、可去间断点、振荡间断点 1.8 连续函数的运算与初等函数的连续性 1、如果函数f(x)与g(x)在点 连续,那么它们的和差积商都在点 连续。 2、如果f(x)在某区间内单调递增且连续,那么它的反函数也在此区间内单调递增且连续。 3、复合函数f[g(x)],g(x)连续,那么f[g(x)]也连续。 一切初等函数在定义域内都是连续。