魔术《4 Kings 折纸》的三重境界（三）——群论描述

今天我们看最后一重，也是本系列得以成文的点睛之笔。

此乃第三境界：众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处——大学水平：群论描述。

还是先把表演视频放这给大家参考：

视频1 4 Kings 折纸

思考引入

我在一次课堂上演示完一般的集合和逻辑推理的演示后，我说用0和1来表达位置奇偶性以及正反状态的属性，那么，折叠操作会同时改变这两个属性，于是就会存在这样的两种情况：

(0, 0) <-> (1, 1)

(0, 1) <-> (1, 0)

也就是说，这个二元状态总会在两个不相交的集合各自内部来回变化其值，而绝对不会跳到另一个集合上去。因此我们把这两个状态组成的集合分别定义清楚，就可以表达这个说法了。幸运的是，我们有异或运算，恰好表达了这个属性。

多无奈，只是恰好有这么个运算，能够表达我们需要的性质而已，万一没有，岂不是要画真值表了。

后来我继续思考抽象，其实对这个运算有两个层面的要求。首先，其对二次的取非操作要对称，不改变其属性；另外，具有二元对称性（交换率），交换变量值也不改变结果。

于是这让我想到了bool变量的数值加法，本身有交换率，如果再不进位的话，那显然二元取非也不影响末位结果，只影响我们不关心的进位与否。而所谓的不进位二进制加法不就是：(x + y) % 2吗？

所以，这里的异或运算，本质上其实是个不进位加法的结果。那不进位加法又是什么呢？之前说的集合，数理逻辑，奇偶性，又算是什么呢？难道是一回事？

是时候上更强的数学大招来一统江湖了！

群论描述

当我们仅仅考虑位置奇偶性和朝向的时候，我们知道，这不仅是奇偶性，也是mod2加减法，更本质的说法应该是一个C2群。它是仅仅比单群只有一个元素稍微复杂一点的群，仅有一个非幺元e的操作f，而且ff = e，即<f|ff = e>。具体到这里就是，每个操作f都会改变其属性，但是因为f ^ 2 = e的成立，其整个生成群兜不出e和f两个结果而已，甚至每个元素的逆元都等于自己。在这两个群中，其f操作分别是平移一个位置和直接的翻转。

那折叠是一种什么操作呢？

折叠是一个同时进行等效平移1单位和翻转的操作，这是抛开其表面挖到本质的理解。

你发现了吗？感到差异吗？物理世界中有感知关联的折叠操作，竟然在数学世界里，是冰冷冷地进行一次平移的奇偶改变和一次朝向翻转的复合。而这也是数学操作和比喻式理解的联系，这个联系使得魔术变得有故事性而完美。

那这个操作到底是何意？数学上有没有工具表达？

有！这不就是位置奇偶性C2群，和朝向C2群的直积形成的新群C2 * C2所对应的新的唯一操作(f1, f2)吗？

那在这一操作作为生成元的条件下，其元素有哪些呢？

群论告诉我们，Cm * Cn同构于Cgcd(m, n)，于是，C2 * C2 = C2。

也就是说，翻转操作下，每张牌都在一个C2群内活动着，仅有2种可能状态而已，而这两种状态，就是前面讲的这两个集合中，任何一个中的两个元素：

{(0, 0), (1, 1)}

{(0, 1), (1, 0)}

显然它们互不相交，不然集合就不是2个元素了。

因此，整个折叠来，折叠去，无非是每张扑克牌元素，在自己的群里游走，从未逃出其限制，这倒是和集合的描述一致了。 而我们最后的结果，相当于给定了第1个属性的值，去看在两个集合中第2个朝向属性为何的结果。显然，我们可以发现互不相同的二者刚好在这个C2群的两个代表集合中存在。又因为所有的操作都是集合内部打转，那么一开始是否在一个集合内就决定了终局。

结语

其实，单单就位置的两个坐标的奇偶性而言，我们还可以发现，这其实是一个D2群，或者说是K4群，折叠操作对应其上的f或r操作。不过这里的拆解对我们研究清楚这个问题并没有帮助，我们不必在这里区分横纵坐标的不同，但一定是最开始思考过程里有意义的歧途。

而到底在哪个层面去建模，这个是十分有难度的事情，能把平面上的两个位置的奇偶性熔成一个，应该可以受到一点折叠本身两个方向对称性的启发；而正反面作为核心建模进去倒是容易理解；而如何排除掉在每叠牌中的位置奇偶性这一点，却是不容易有直觉的。这些，都只能通过不断地实验、推理和分析，最后才能得到数学模型结果的呈现。

以上就是这个魔术三层境界的全部原理，不知道全剧是否会终了，以后有没有更大一统的数学结构出现，揭露更深的本质。

至少，在我写CATO原理的魔术时，发现了基于商集的拓展描述，因为那里的二元性质，会相互转化，又比这里的MAT Principle更抽象一步了。

下一篇，我们应用我们从数学原理角度的思考，看看应用这些原理，能否设计出思维层次降维打击的魔术呢？

我们下期见！