“三门问题”解决方案：换不换？更换策略与贝叶斯策略？附 Java 验证代码

前言

“三门问题”作为一道经典逻辑推理题，经常被用来考察面试者的数学和逻辑思维能力，面试者需要通过掌握不同事件的属性和限制条件，运用逻辑推理和数学计算，得出不同情境下的概率。今天看到有同学面试遇“三门问题”，其中一个女孩子解答采取最稳妥的概率方法——穷举法，而大部分同学答案是“坚持不换”，选中车的概率永远是 1/n，换不换无所谓。果然经典问题是值得回味的，如果仅把思维固化在开门角度，确实选中概率永远是 1/n；如果看的是“换的角度”，当然如果你记得贝叶斯公式，那这个问题迎刃而解了，数学世界是充满无穷奥妙的！

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一、什么是“三门问题”？

“三门问题”是一道经典的逻辑推理题，也称为“三羊问题”或“蒙提霍尔问题”。

问题描述为：有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面各有一只山羊。参赛者可以选择其中一扇门，然后主持人会打开另外两扇门中的一扇门，露出一只山羊。参赛者可以选择是否更换选择。

问题的关键在于，是否更换选择能够增加获得汽车的概率。这个问题常常被用来说明概率思维的重要性。

二、“三门问题”解决策略详解

解决这个问题的策略有很多，常见的包括直觉策略、随机策略、更换策略和贝叶斯策略。

2.1、错误策略：直觉策略与随机策略

• 直觉策略。最常见的直觉策略是认为参赛者选择任何一扇门的概率都是 1/3，所以如果不更换选择，获得汽车的概率就是 1/3。
• 随机策略。如果参赛者选择随机门，即随机选择一扇门并坚持选择该门，那么获得汽车的概率仍然是 1/3。

但是，这两个策略都是错误的。很多人忽略的一点，也是这里我们需要特别注意一个事件——主持人一定会打开有山羊的一扇门，并且不能打开用户选择的门和有汽车的门！ 主持人的操作已经影响到了事件的概率！为什么？别急，往下看。

今天看到有同学在面试遇“三门问题”，其中一个女孩子给了我她的解答，特别聪明但又不是很“灵巧”，她采取了最稳妥的概率计算方法——穷举法，如下是被面试女孩子的答案，大家可以看一下：

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2.2、更换策略与事件分析计算

更换策略是一个更好的策略，选择一扇门，并在主持人展示一只山羊后更换选择。

我们列一个表，将本次所有操作事件列举出来，具体如下表所示：

显而易见，如果不更换，事件未受影响，结果即为直觉策略与随机策略的结果，为 1/3，但是在“主持人一定会打开有山羊的一扇门，并且不能打开用户选择的门和有汽车的门”操作后，参赛者更换门后得到的物品为车的概率由 1/3 变成了 2/3。

2.3、贝叶斯策略及分析流程

贝叶斯策略是一种更加严谨的解决方式，它基于贝叶斯公式，并结合了先验概率和后验概率的概念。

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我们使用贝叶斯策略解决三门问题：假设参赛者选择门 A，然后主持人打开了门 B，揭示了一只羊。现在参赛者可以选择门 A 或门 C。

我们定义事件如下：

• A = 您一开始选择的门是 A。
• B = 主持人打开的门是 B。
• C = 第三扇门是 C。

确定先验概率和事件的条件概率：

• P(A) = 1/3，因为参赛者有三个门可选，每个门的选择机会相等。
• P(B | A) = 1/2，因为主持人必须打开没有车的门，且参赛者的选择是随机的。
• P(B | C) = 1，因为如果参赛者选择的是门 C 而不是门 A，那么主持人只能打开门 B 来揭示一只羊。
• P(C | A, B) = 2/3，因为如果参赛者一开始选择的是门 A，那么奖品必须在门 C 或 B 中，主持人打开门 B 后，门 C 的概率变成了 2/3。

应用贝叶斯公式：P(C | B, A) = P(B | C, A) * P(C | A) / P(B | A)= 1 * (1/3) / (1/2)= 2/3

根据计算结果得知，如果参赛者选择了门 A，并且主持人打开了门 B 揭示了一只羊，那么参赛者应该选择门 C，获得大奖的概率是 2/3。

三、Java 语言验证“三门问题”

理清解决策略之后，通过 Java 语言验证三门问题那就是简简单单，实现代码如下：

package com.bailu.test;

import java.util.Random;

/**
 * "三门问题"Java验证代码
 * 
 * @author bailucool
 *
 */
public class ThreeDoors {
	private static final int NUM_DOORS = 3;// 定义门的数量
	private static Random random = new Random();// 随机数生成器
	private static final int percent = 100;// 定义百分比

	public static void main(String[] args) {
		int totalGames = 10000;// 定义游戏总次数
		int stayWinCar = 0;// 定义不更换门得到车的游戏次数
		int switchWinCar = 0;// 定义更换门后得到车的游戏次数

		for (int i = 0; i < totalGames; i++) {
			int carDoor = random.nextInt(NUM_DOORS);// 随机一扇门后有汽车
			int firstChoice = random.nextInt(NUM_DOORS);// 参赛者第一次选择的门

			// 主持人打开另一扇有羊的门
			int openedDoor;
			do {
				openedDoor = random.nextInt(NUM_DOORS);
				// 主持人不能打开用户选择的门和有汽车的门
			} while (openedDoor == firstChoice || openedDoor == carDoor);

			// 计算不能换门，参赛者可以获得小汽车的次数
			if (firstChoice == carDoor) {
				stayWinCar++;
			}

			// 主持人打开另一扇有羊的门，独立事件——与第一次打开门无关
			int secondChoice;
			do {
				secondChoice = random.nextInt(NUM_DOORS);
				// 主持人不能打开用户选择的门和有汽车的门
			} while (secondChoice == firstChoice || secondChoice == openedDoor);

			// 计算换门后，参赛者可以获得小汽车的次数
			if (secondChoice == carDoor) {
				switchWinCar++;
			}
		}

		// 将次数转换为概率，输出结果
		double stayWinRate = stayWinCar * 1.0 / totalGames;
		double switchWinRate = switchWinCar * 1.0 / totalGames;
		System.out.println("不更换门获得小汽车的概率为：" + stayWinRate * percent + "%");
		System.out.println("更换门后获得小汽车的概率为：" + switchWinRate * percent + "%");
	}

}

在如上验证代码中，我们使用了一个名为 random 的随机数生成器来随机选择门，使用 NUM_DOORS 常量表示门的数量，通过使用 for 循环来进行多次试验进行模拟，最后输出每种选择情况获胜选中小汽车的次数，通过这个程序的输出结果进一步验证了更换策略的优势。

如果多几个门呢，还会吗？可别写下面这样的答案了！感兴趣的同学可以试一下下面的“四门问题”，欢迎大家把答案留言在文章下方！

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文章作者：白鹿第一帅，作者主页：https://blog.csdn.net/qq_22695001，未经授权，严禁转载，侵权必究！

总结

三门问题的解决方式有很多，但是更换策略和贝叶斯策略是最为精确和可靠的两种方式。但是，对于一些参赛者来说，直觉策略和随机策略可能仍然是主要的选择方式。作为面试题，“三门问题”主要考察面试者的逻辑思维能力、数学推理能力、解决问题的能力和试错能力。同时，还考察面试者对于题目的理解和分析能力，是否能够从多个角度出发，得出正确答案。此外，面试官还可以通过观察面试者的沟通能力和表达能力，来评估他们是否具备良好的团队合作能力。

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