积分中值定理

在一元积分理论中，积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理.它们都是微积分学中的基本定理，本文介绍相关内容。

极值定理

极值定理也叫最大最小值定理，它的含义非常直观：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续的函数，必然存在最大值和最小值，并且取到最大值和最小值至少一次。

的最小值和最大值，那么根据极值定理，可以得到以下式子成立：

上图当中灰色阴影部分就是定积分的结果，蓝色的矩形面积是 m(b-a) ，大的矩形面积是 M(b-a) 。

由于m和M分别是最小值和最大值，所以我们可以得到

第一积分中值定理

定义：

证明

，可以得到：

它的值位于函数在区间的最大值和最小值之间。根据连续函数的介值定理，我们一定可以在 这点的取值与这个数值相等，也就是说：

上面这个式子就是积分中值定理了，这里有两点要注意:

1. 函数必须是一个连续函数，否则的话，可能刚好函数在 \xi 点处没有定义。这个也是定理成立的先决条件。
2. 连续函数的介值定理，它的含义是说对于一个在区间 [a, b] 上连续的函数，对于任一在其最大值和最小值之间的常数，我们必然可以在区间 [a, b] 上找到一点，使得该点的函数值等于这个常数。

也可以写成：

​

也就是说以 \alpha f(\xi) 为高的矩形面积和函数围成的曲形面积相等，所以它既是矩形的高，也是函数在 [a, b] 上的平均值。

第一积分中值定理的推广

，使得

证明

由于 g(x) 连续不变符号，不妨设 g(x) \ge 0

，则有：

根据连续函数的介值定理，我们一定可以在 这点的取值与这个数值相等：

第二积分中值定理

各种形式的积分第二中值定理叙述如下：

• 设函数 f(x) 与 g(x) 在 [a，b] 上可积
• 函数 f(x) 在 [a，b] 上单调增加且非负，则存在 \xi \in[a, b] ，使 \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) d x .
• 函数 f(x) 在 [a，b] 上单调增减且非负，则存在 \xi \in[a, b] ，使 \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) d x .
• 函数 f(x) 在 [a，b] 上单调，则存在 \xi \in[a, b] ，使 \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) d x+f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) d x .

参考资料

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/614978825
• https://baike.baidu.com/item/积分中值定理/538584?fr=ge_ala
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/132668736

文章链接：

https://cloud.tencent.com/developer/article/2360339