在Amesp中提取多种类型的电子积分

在自己写量化程序或者验证量化方法的时候，需要使用到各种类型的电子积分。电子积分计算比较复杂，程序编写的门槛很高。而调用其他的程序(如PySCF)的时候也需要读懂程序的接口，这种方式也不是很方便，门槛也高。本文将介绍使用Amesp很方便地计算并提取多种类型的电子积分，帮助读者验证自己的方法以及对标自己程序的结果。

Amesp支持多种类型、不同中心的单、双电子积分。按照有几个中心分类，包括双中心的：重叠积分，动能积分，核吸引能积分，偶极矩积分，赝势积分，单电子SOC积分，双中心双电子电子排斥积分，双中心双电子反库伦积分(-(μ|r12|ν))。以及三、四中心的：四中心电子排斥积分，三中心电子排斥积分，三中心重叠积分，三中心反库伦积分(-(μν|r12|λ))等。想要输出其中的双中心积分，只需要在>ope模块中写out 3即可：

% npara 4
! hf sto-3g
>ope 
 out 3
end
>xyz 0 1
O  2.94823228   -0.42925614  -0.00561927
H  3.90823228   -0.42925614  -0.00561927
H  2.62777770    0.47567970  -0.00561927
end

输出文件中的与双中心电子积分相关的部分为：

储存上述矩阵的时候根据对称性只储存了一半，读取的时候根据对称性把另外一半补全即可。重叠积分、动能积分、偶极矩积分、核哈密顿积分等在HF/DFT级别下会默认输出，核哈密顿积分在非相对论情况下是动能积分和核吸引能积分的和，而在X2C下则是X2C的单电子哈密顿。赝势积分需要在使用赝势的时候输出，单电子SOC积分需要在使用SOC的时候输出。双中心双电子电子排斥积分需要在使用RICOSX时才能输出，双中心双电子反库伦积分则是使用dffile（用于产生aesp的输入文件，用来计算大体系的静电势）的时候才能输出。输出积分时Amesp也会附加输出波函数的信息，如下所示：

这部分包含了每一个序号对应的基函数信息，如所处的中心原子以及角动量，它可以用于对应电子积分。

三中心和四中心的积分需要在>ope模块中写out 4，此时上述的双中心积分也会同时输出，其中四中心电子排斥积分的输出例子为：

默认输出绝对值大于10^(-10)的电子积分，改变阈值可以使用>scf模块中的accint关键词。输出的时候利用了双电子积分的1/8对称性，即i>=j，k>=l，i(i-1)+2j >= k(k-1)+2l。在使用范围分离泛函(如CAM-B3LYP)的时候，除了输出1/r12的部分，还会输出erf(w*r12)/r12的部分：

四中心电子排斥积分默认输出的基函数数目不超过160个，想要输出更多则需要增大内存，但是这会导致输出文件巨大。在使用posthf（如MP2、CCSD）的时候，也会输出相应的MO下的四中心电子排斥积分，默认是冻芯的，可以使用>posthf中的fc off关键词关闭冻芯。三中心双电子电子排斥积分需要在使用RICOSX时才能输出，也是默认输出绝对值大于10^(-10)的电子积分，并且利用了三中心积分的1/2对称性，即i>=j。

除了上述的电子积分，Amesp还支持输出DFT数值积分的格点和权重，关键词为：

% npara 4
! b3lyp sto-3g
>ope
 gridfile on
end
>xyz 0 1
O   2.94823228   -0.42925614  -0.00561927
H   3.90823228   -0.42925614  -0.00561927
H   2.62777770    0.47567970  -0.00561927
end

格点和权重会输出到.grd的文件中，可以读取这个文件来进行相关数值积分（如计算Hirshfeld电荷）：