例:求一曲线方程,使其满足过点(1,2),且其上任意一点处的切线斜率为其横坐标的2倍。
设曲线方程为y=f(x),有\({dy\over dx}=2x\),这样的方程与代数方程的不同在于包含了未知函数对自变量的导数,为一阶的微分方程。之所以为一阶微分方程是因为该方程的导数的最高阶数为一阶。由该式可得
dy=2xdx
两端积分,有
\(y=x^2+C\)
将(1,2)代入,可得
C=1
故该曲线方程为
\(y=x^2+1\)
其中\(y=x^2+C\)为微分方程\({dy\over dx}=2x\)的通解,\(y=x^2+1\)为特解。
微分方程定义和基本概念
\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)
包含了自变量各阶导数的方程称为微分方程。