t-SNE(t-distributed stochastic neighbor embedding)是用于降维的一种机器学习算法,是由 Laurens van der Maaten 和 Geoffrey Hinton在08年提出来。此外,t-SNE 是一种非线性降维算法,非常适用于高维数据降维到2维或者3维,进行可视化。
t-SNE是由SNE(Stochastic Neighbor Embedding, SNE; Hinton and Roweis, 2002)发展而来。我们先介绍SNE的基本原理,之后再扩展到t-SNE。最后再看一下t-SNE的实现以及一些优化。
SNE是通过仿射(affinitie)变换将数据点映射到概率分布上,主要包括两个步骤:
我们看到t-SNE模型是非监督的降维,他跟kmeans等不同,他不能通过训练得到一些东西之后再用于其它数据(比如kmeans可以通过训练得到k个点,再用于其它数据集,而t-SNE只能单独的对数据做操作,也就是说他只有fit_transform,而没有fit操作)
SNE是先将欧几里得距离转换为条件概率来表达点与点之间的相似度。具体来说,给定一个N个高维的数据 (x_1, … , x_N)(注意N不是维度), t-SNE首先是计算概率(p_{ij}),正比于(x_i)和(x_j)之间的相似度(这种概率是我们自主构建的),即:
[{p_ {j \mid i} = \frac{\exp(- \mid \mid x_i -x_j \mid \mid ^2 / (2 \sigma^2_i ))} {\sum_{k \neq i} \exp(- \mid \mid x_i - x_k \mid \mid ^2 / (2 \sigma^2_i))}}]
这里的有一个参数是(\sigma_i),对于不同的点(x_i)取值不一样,后续会讨论如何设置。此外设置(p_{x \mid x}=0),因为我们关注的是两两之间的相似度。
那对于低维度下的(y_i),我们可以指定高斯分布为方差为(\frac{1}{\sqrt{2}}),因此它们之间的相似度如下:
[{q_ {j \mid i} = \frac{\exp(- \mid \mid x_i -x_j \mid \mid ^2)} {\sum_{k \neq i} \exp(- \mid \mid x_i - x_k \mid \mid ^2)}}]
同样,设定(q_{i \mid i} = 0).
如果降维的效果比较好,局部特征保留完整,那么 (p_{i \mid j} = q_{i \mid j}), 因此我们优化两个分布之间的距离-KL散度(Kullback-Leibler divergences),那么目标函数(cost function)如下:
[C = \sum_i KL(P_i \mid \mid Q_i) = \sum_i \sum_j p_{j \mid i} \log \frac{p_{j \mid i}}{q_{j \mid i}}]
这里的(P_i)表示了给定点(x_i)下,其他所有数据点的条件概率分布。需要注意的是KL散度具有不对称性,在低维映射中不同的距离对应的惩罚权重是不同的,具体来说:距离较远的两个点来表达距离较近的两个点会产生更大的cost,相反,用较近的两个点来表达较远的两个点产生的cost相对较小(注意:类似于回归容易受异常值影响,但效果相反)。即用较小的 (q_{j \mid i}=0.2) 来建模较大的 (p_{j \mid i}=0.8), cost=(p \log(\frac{p}{q}))=1.11,同样用较大的(q_{j \mid i}=0.8)来建模较大的(p_{j \mid i}=0.2), cost=-0.277, 因此,SNE会倾向于保留数据中的局部特征。
思考:了解了基本思路之后,你会怎么选择(\sigma),固定初始化?
下面我们开始正式的推导SNE。首先不同的点具有不同的(\sigma_i),(P_i)的熵(entropy)会随着(\sigma_i)的增加而增加。SNE使用困惑度(perplexity)的概念,用二分搜索的方式来寻找一个最佳的(\sigma)。其中困惑度指:
[Perp(P_i) = 2^{H(P_i)}]
这里的(H(P_i))是(P_i)的熵,即:
[H(P_i) = -\sum_j p_{j \mid i} \log_2 p_{j \mid i}]
困惑度可以解释为一个点附近的有效近邻点个数。SNE对困惑度的调整比较有鲁棒性,通常选择5-50之间,给定之后,使用二分搜索的方式寻找合适的(\sigma)
那么核心问题是如何求解梯度了,目标函数等价于(\sum \sum - p log(q))这个式子与softmax非常的类似,我们知道softmax的目标函数是(\sum -y \log p),对应的梯度是(y - p)(注:这里的softmax中y表示label,p表示预估值)。 同样我们可以推导SNE的目标函数中的i在j下的条件概率情况的梯度是(2(p_{i \mid j}-q_{i \mid j})(y_i-y_j)), 同样j在i下的条件概率的梯度是(2(p_{j \mid i}-q_{j \mid i})(y_i-y_j)), 最后得到完整的梯度公式如下:
[\frac{\delta C}{\delta y_i} = 2 \sum_j (p_{j \mid i} - q_{j \mid i} + p_{i \mid j} - q_{i \mid j})(y_i - y_j)]
在初始化中,可以用较小的(\sigma)下的高斯分布来进行初始化。为了加速优化过程和避免陷入局部最优解,梯度中需要使用一个相对较大的动量(momentum)。即参数更新中除了当前的梯度,还要引入之前的梯度累加的指数衰减项,如下:
[Y^{(t)} = Y^{(t-1)} + \eta \frac{\delta C}{\delta Y} + \alpha(t)(Y^{(t-1)} - Y{(t-2)})]</p><p>这里的(Y{(t)})表示迭代t次的解,(\eta)表示学习速率,(\alpha(t))表示迭代t次的动量。
此外,在初始优化的阶段,每次迭代中可以引入一些高斯噪声,之后像模拟退火一样逐渐减小该噪声,可以用来避免陷入局部最优解。因此,SNE在选择高斯噪声,以及学习速率,什么时候开始衰减,动量选择等等超参数上,需要跑多次优化才可以。
思考:SNE有哪些不足? 面对SNE的不足,你会做什么改进?
尽管SNE提供了很好的可视化方法,但是他很难优化,而且存在”crowding problem”(拥挤问题)。后续中,Hinton等人又提出了t-SNE的方法。与SNE不同,主要如下:
t-SNE在低维空间下使用更重长尾分布的t分布来避免crowding问题和优化问题。在这里,首先介绍一下对称版的SNE,之后介绍crowding问题,之后再介绍t-SNE。
优化(p_{i \mid j})和(q_{i \mid j})的KL散度的一种替换思路是,使用联合概率分布来替换条件概率分布,即P是高维空间里各个点的联合概率分布,Q是低维空间下的,目标函数为:
[C = KL(P \mid \mid Q) = \sum_i \sum_j p_{i,j} \log \frac{p_{ij}}{q_{ij}}]
这里的(p_{ii}),(q_{ii})为0,我们将这种SNE称之为symmetric SNE(对称SNE),因为他假设了对于任意i,(p_{ij} = p_{ji}, q_{ij} = q_{ji}),因此概率分布可以改写为:
[p_{ij} = \frac{\exp(- \mid \mid x_i - x_j \mid \mid ^2 / 2\sigma^2)}{\sum_{k \neq l} \exp(- \mid \mid x_k-x_l \mid \mid ^2 / 2\sigma^2)} \ \ \ \ q_{ij} = \frac{\exp(- \mid \mid y_i - y_j \mid \mid ^2)}{\sum_{k \neq l} \exp(- \mid \mid y_k-y_l \mid \mid ^2)}]
这种表达方式,使得整体简洁了很多。但是会引入异常值的问题。比如(x_i)是异常值,那么(\mid \mid x_i - x_j \mid \mid ^2)会很大,对应的所有的j, (p_{ij})都会很小(之前是仅在(x_i)下很小),导致低维映射下的(y_i)对cost影响很小。
思考: 对于异常值,你会做什么改进?(p_i)表示什么?
为了解决这个问题,我们将联合概率分布定义修正为: (p_{ij} = \frac{p_{i \mid j} + p_{j \mid i}}{2}), 这保证了(\sum_j p_{ij} \gt \frac{1}{2n}), 使得每个点对于cost都会有一定的贡献。对称SNE的最大优点是梯度计算变得简单了,如下:
(\frac{\delta C}{\delta y_i} = 4 \sum_j (p_{ij} - q_{ij})(y_i - y_j))
实验中,发现对称SNE能够产生和SNE一样好的结果,有时甚至略好一点。
拥挤问题就是说各个簇聚集在一起,无法区分。比如有一种情况,高维度数据在降维到10维下,可以有很好的表达,但是降维到两维后无法得到可信映射,比如降维如10维中有11个点之间两两等距离的,在二维下就无法得到可信的映射结果(最多3个点)。 进一步的说明,假设一个以数据点(x_i)为中心,半径为r的m维球(三维空间就是球),其体积是按(r^m)增长的,假设数据点是在m维球中均匀分布的,我们来看看其他数据点与(x_i)的距离随维度增大而产生的变化。
从上图可以看到,随着维度的增大,大部分数据点都聚集在m维球的表面附近,与点(x_i)的距离分布极不均衡。如果直接将这种距离关系保留到低维,就会出现拥挤问题。
怎么解决crowding问题呢?
Cook et al.(2007) 提出一种slight repulsion的方式,在基线概率分布(uniform background)中引入一个较小的混合因子(\rho),这样(q_{ij})就永远不会小于(\frac{2 \rho}{n(n-1)}) (因为一共了n(n-1)个pairs),这样在高维空间中比较远的两个点之间的(q_{ij})总是会比(p_{ij})大一点。这种称之为UNI-SNE,效果通常比标准的SNE要好。优化UNI-SNE的方法是先让(\rho)为0,使用标准的SNE优化,之后用模拟退火的方法的时候,再慢慢增加(\rho). 直接优化UNI-SNE是不行的(即一开始(\rho)不为0),因为距离较远的两个点基本是一样的(q_{ij})(等于基线分布), 即使(p_{ij})很大,一些距离变化很难在(q_{ij})中产生作用。也就是说优化中刚开始距离较远的两个聚类点,后续就无法再把他们拉近了。
对称SNE实际上在高维度下 另外一种减轻”拥挤问题”的方法:在高维空间下,在高维空间下我们使用高斯分布将距离转换为概率分布,在低维空间下,我们使用更加偏重长尾分布的方式来将距离转换为概率分布,使得高维度下中低等的距离在映射后能够有一个较大的距离。
我们对比一下高斯分布和t分布(如上图,code见probability/distribution.md), t分布受异常值影响更小,拟合结果更为合理,较好的捕获了数据的整体特征。
使用了t分布之后的q变化,如下:
[q_{ij} = \frac{(1 + \mid \mid y_i -y_j \mid \mid 2){-1}}{\sum_{k \neq l} (1 + \mid \mid y_i -y_j \mid \mid 2){-1}}]
此外,t分布是无限多个高斯分布的叠加,计算上不是指数的,会方便很多。优化的梯度如下:
[\frac{\delta C}{\delta y_i} = 4 \sum_j(p_{ij}-q_{ij})(y_i-y_j)(1+ \mid \mid y_i-y_j \mid \mid 2){-1}]
t-sne的有效性,也可以从上图中看到:横轴表示距离,纵轴表示相似度, 可以看到,对于较大相似度的点,t分布在低维空间中的距离需要稍小一点;而对于低相似度的点,t分布在低维空间中的距离需要更远。这恰好满足了我们的需求,即同一簇内的点(距离较近)聚合的更紧密,不同簇之间的点(距离较远)更加疏远。
总结一下,t-SNE的梯度更新有两大优势:
算法详细过程如下:
优化过程中可以尝试的两个trick:
优化的过程动态图如下:
主要不足有四个:
后续有机会补充。
文中的插图绘制:
# coding:utf-8 import numpy as npfrom numpy.linalg import normfrom matplotlib import pyplot as pltplt.style.use(‘ggplot’) def sne_crowding(): npoints = 1000 # 抽取1000个m维球内均匀分布的点 plt.figure(figsize=(20, 5)) for i, m in enumerate((2, 3, 5, 8)): # 这里模拟m维球中的均匀分布用到了拒绝采样, # 即先生成m维立方中的均匀分布,再剔除m维球外部的点 accepts = [] while len(accepts) < 1000: points = np.random.rand(500, m) accepts.extend([d for d in norm(points, axis=1) if d <= 1.0]) # 拒绝采样 accepts = accepts[:npoints] ax = plt.subplot(1, 4, i+1) if i 0: ax.set_ylabel(‘count’) if i 2: ax.set_xlabel(‘distance’) ax.hist(accepts, bins=np.linspace(0., 1., 50)) ax.set_title(‘m=%s’ %m) plt.savefig(“./images/sne_crowding.png”) x = np.linspace(0, 4, 100) ta = 1 / (1 + np.square(x)) tb = np.sum(ta) - 1 qa = np.exp(-np.square(x)) qb = np.sum(qa) - 1 def sne_norm_t_dist_cost(): plt.figure(figsize=(8, 5)) plt.plot(qa/qb, c=“b”, label=“normal-dist”) plt.plot(ta/tb, c=“g”, label=“t-dist”) plt.plot((0, 20), (0.025, 0.025), ‘r–’) plt.text(10, 0.022, r‘
q
i
j
q_{ij}
qij’) plt.text(20, 0.026, r‘
p
i
j
p_{ij}
pij’) plt.plot((0, 55), (0.005, 0.005), ‘r–’) plt.text(36, 0.003, r‘
q
i
j
q_{ij}
qij’) plt.text(55, 0.007, r‘
p
i
j
p_{ij}
pij’) plt.title(“probability of distance”) plt.xlabel(“distance”) plt.ylabel(“probability”) plt.legend() plt.savefig(“./images/sne_norm_t_dist_cost.png”) if name ‘main’: sne_crowding() sne_norm_t_dist_cost()
附录一下t-sne的完整代码实现:
# coding utf-8‘’‘代码参考了作者Laurens van der Maaten的开放出的t-sne代码, 并没有用类进行实现,主要是优化了计算的实现’‘’import numpy as np def cal_pairwise_dist(x): ‘’‘计算pairwise 距离, x是matrix (a-b)^2 = a^w + b^2 - 2ab ‘’’ sum_x = np.sum(np.square(x), 1) dist = np.add(np.add(-2 np.dot(x, x.T), sum_x).T, sum_x) return dist def cal_perplexity(dist, idx=0, beta=1.0): ‘’‘计算perplexity, D是距离向量, idx指dist中自己与自己距离的位置,beta是高斯分布参数 这里的perp仅计算了熵,方便计算 ‘’’ prob = np.exp(-dist beta) # 设置自身prob为0 prob[idx] = 0 sum_prob = np.sum(prob) perp = np.log(sum_prob) + beta np.sum(dist prob) / sum_prob prob /= sum_prob return perp, prob def seach_prob(x, tol=1e-5, perplexity=30.0): ‘’‘二分搜索寻找beta,并计算pairwise的prob ‘’’ # 初始化参数 print(“Computing pairwise distances…”) (n, d) = x.shape dist = cal_pairwise_dist(x) pair_prob = np.zeros((n, n)) beta = np.ones((n, 1)) # 取log,方便后续计算 base_perp = np.log(perplexity) for i in range(n): if i % 500 0: print(“Computing pair_prob for point %s of %s …” %(i,n)) betamin = -np.inf betamax = np.inf perp, this_prob = cal_perplexity(dist[i], i, beta[i]) # 二分搜索,寻找最佳sigma下的prob perp_diff = perp - base_perp tries = 0 while np.abs(perp_diff) > tol and tries < 50: if perp_diff > 0: betamin = beta[i].copy() if betamax np.inf or betamax -np.inf: beta[i] = beta[i] 2 else: beta[i] = (beta[i] + betamax) / 2 else: betamax = beta[i].copy() if betamin np.inf or betamin -np.inf: beta[i] = beta[i] / 2 else: beta[i] = (beta[i] + betamin) / 2 # 更新perb,prob值 perp, this_prob = cal_perplexity(dist[i], i, beta[i]) perp_diff = perp - base_perp tries = tries + 1 # 记录prob值 pair_prob[i,] = this_prob print(“Mean value of sigma: “, np.mean(np.sqrt(1 / beta))) return pair_prob def pca(x, no_dims = 50): ‘’’ PCA算法 使用PCA先进行预降维 ‘’' print(“Preprocessing the data using PCA…”) (n, d) = x.shape x = x - np.tile(np.mean(x, 0), (n, 1)) l, M = np.linalg.eig(np.dot(x.T, x)) y = np.dot(x, M[:,0:no_dims]) return y def tsne(x, no_dims=2, initial_dims=50, perplexity=30.0, max_iter=1000): ””“Runs t-SNE on the dataset in the NxD array x to reduce its dimensionality to no_dims dimensions. The syntaxis of the function is Y = tsne.tsne(x, no_dims, perplexity), where x is an NxD NumPy array. “”” # Check inputs if isinstance(no_dims, float): print(“Error: array x should have type float.”) return -1 if round(no_dims) != no_dims: print(“Error: number of dimensions should be an integer.”) return -1 # 初始化参数和变量 x = pca(x, initial_dims).real (n, d) = x.shape initial_momentum = 0.5 final_momentum = 0.8 eta = 500 min_gain = 0.01 y = np.random.randn(n, no_dims) dy = np.zeros((n, no_dims)) iy = np.zeros((n, no_dims)) gains = np.ones((n, no_dims)) # 对称化 P = seach_prob(x, 1e-5, perplexity) P = P + np.transpose(P) P = P / np.sum(P) # early exaggeration P = P 4 P = np.maximum(P, 1e-12) # Run iterations for iter in range(max_iter): # Compute pairwise affinities sum_y = np.sum(np.square(y), 1) num = 1 / (1 + np.add(np.add(-2 np.dot(y, y.T), sum_y).T, sum_y)) num[range(n), range(n)] = 0 Q = num / np.sum(num) Q = np.maximum(Q, 1e-12) # Compute gradient PQ = P - Q for i in range(n): dy[i,:] = np.sum(np.tile(PQ[:,i] num[:,i], (no_dims, 1)).T (y[i,:] - y), 0) # Perform the update if iter < 20: momentum = initial_momentum else: momentum = final_momentum gains = (gains + 0.2) ((dy > 0) != (iy > 0)) + (gains 0.8) ((dy > 0) (iy > 0)) gains[gains < min_gain] = min_gain iy = momentum iy - eta (gains * dy) y = y + iy y = y - np.tile(np.mean(y, 0), (n, 1)) # Compute current value of cost function if (iter + 1) % 100 0: if iter > 100: C = np.sum(P np.log(P / Q)) else: C = np.sum( P/4 np.log( P/4 / Q)) print("Iteration “, (iter + 1), ”: error is ", C) # Stop lying about P-values if iter 100: P = P / 4 print(“finished training!”) return y if name “main”: # Run Y = tsne.tsne(X, no_dims, perplexity) to perform t-SNE on your dataset. X = np.loadtxt(“mnist2500_X.txt”) labels = np.loadtxt(“mnist2500_labels.txt”) Y = tsne(X, 2, 50, 20.0) from matplotlib import pyplot as plt plt.scatter(Y[:,0], Y[:,1], 20, labels) plt.show()