牛顿运动定律的谜团（四）——牛顿定律的数学模型

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光说不练假把式，今天我们尝试用数学模型的框架，用现代数学语言来完整描述一番牛顿运动定律从物理实际到数学结构到底是什么，好对他当时到底构建了一个怎样的物理世界盖棺定论。

因为我实在觉得，动量守恒，才是更本质的规律，因此我尝试以动量守恒定律为定律，即作为数学结构中的公理化性质提出，进而推导出牛顿运动定律。在推导中，可以更进一步地认识到二者的等效性。

牛顿定律的数学结构

公理化前提

公理化集合论

公理化极限

（公理化FST，这里是连续时间，暂时不用）

公理化定义

符号定义

R* = R+ + {0}

t, T, M, X, T in R*

M = t2m(t) in R* -> R+ = SM

X = t2x(t) in R* -> R* = SX，in 二阶可导函数

T = t2t(t) in R* -> R*

V, A in R

V = v2t(t) = dX / dt = t2x'(t) in R* -> R = SV

A = a2v(t) = dV / dt in R* -> R = SA

P = MV in R* = SP

Q = {q_i = (M, X, V, A, P) | q_i in SM * SX * SV * SA * SP, i in 1:n, n in N+}

q(T) in R* -> Q

公理化性质

1. 时间均匀流逝

t2t(t) = t

2. 质量守恒

q(T)_i.M = q(0)_i.M = M_i，M_i in R+，for all i in 1:n，T in R*

3. 动量守恒

sum({q(T)_i.P | i in 1:n}) = sum({q(0)_i.P | i in 1:n}) = PG in R, for all T in R*

数学问题和逻辑推理（求解）

1. 加速度公式

附加条件：无

结论：A = d ^ 2(X) / d(t ^ 2)

逻辑推理：A = a2v(t) = dV / dt = d ^ 2(X) / d(t ^ 2)

2. 牛顿第一定律（理）

附加条件：n = 1

结论：q(t)_1.V = q(0)_1.V

逻辑推理：

因为

q(t)_1.M = q(0)_1.M，q(t)_1.P = q(t)_1.M * q(t)_1.V = q(0)_1.P = q(0)_1.M * q(0)_1.V for t in R*

所以

q(t)_1.V = q(t)_1.M * q(t)_1.V / q(t)_1.M = q(0)_1.M * q(0)_1.V / q(0)_1.M = q(0)_1.V for all t in R*

3. 牛顿第二定律（理）

附加条件：n = 2

附加定义：

i in 1:2

DP_i(t) = q(t)_i.P - q(0)_i.P

DV_i(t) = q(t)_i.V - q(0)_i.V

I_i(t, 0) = DP_i(t)

F_i(t) = dI_i(t, 0) / dt

结论：F_i(t) = q(0)_i.M * q(t)_i.A

逻辑推理：

因为q(t)_i.M = q(0)_i.M，P = MV

所以DP_i(t) = q(t)_i.M * q(t)_i.V - q(0)_i.M * q(0)_i.V

= q(0)_i.M * q(t)_i.V - q(0)_i.M * q(0)_i.V

= q(0)_i.M * (q(t)_i.V - q(0)_i.V)

= q(0)_i.M * DV_i(t)

所以F_i(t) = dI_i(t, 0) / dt

= dDP_i(t) / dt

= d(q(0)_i.M * DV_i(t)) / dt

= q(0)_i.M * d(DV_i(t)) / dt

= q(0)_i.M * d(q(t)_i.V) / dt

= q(0)_i.M * q(t)_i.A

4. 牛顿第三定律（理）

附加条件：同牛顿第二定律（理）

附加定义：同牛顿第二定律（理）

结论：F_1(t) = - F_2(t)

逻辑推理：

因为q(t)_1.P + q(t)_2.P = q(0)_1.P + q(0)_2.P

所以DP_1(t) = - DP_2(t)

所以dDP_1(t) / dt = - dDP_2(t) / dt

所以F_1(t) = - F_2(t)

牛顿定律的符号说明

t：假想的均匀流逝的客观时间

T：时间的度量，某个假定频率稳定的周期运动的空间度量

t2t(t)：时间度量关于客观时间的函数

M：物体的质量，物体某个可以用数值度量，表示其物质多少的量，用标准质量和天平受力可测；

t2m(t)：物体质量关于客观时间

X：物体的空间位置坐标

x2m(t)：物体空间位置关于客观时间

V：物体的速度

A：物体的加速度

P：物体的动量

Q：物体的状态

M_i：系统中第i个物体的质量

PG：系统中所有物体的动量和

牛顿定律的数学建模

规定/常识/定律/假设from公理化性质

1. 时间均匀流逝（规定）

2. 质量守恒定律

对于任何一个物质和能量的所有转移都封闭的系统（封闭系统）而言，系统的质量必须随时间推移保持不变；[2]

3. 动量守恒定律

如果物体受到外力的合力为零，则系统内各物体动量的向量和保持不变，系统质心维持原本的运动状态；[3]

实际问题from定理

（暗含了和数学问题对应的附加条件和结论）

1. 加速度公式

物体的瞬时加速度是位移对时间的二阶导数；

2. 牛顿第一定律（理）

假若施加于某物体的外力为零，则该物体的运动速度不变（惯性定律）;[1]

3. 牛顿第二定律（理）

施加于物体的外力等于此物体的质量与加速度的乘积（加速度定律）;[1]

4. 牛顿第三定律（理）

当两个物体相互作用于对方时，彼此施加于对方的力，其大小相等、方向相反（作用力与反作用力定律）;[1]

说明from证明

1. 加速度公式说明：根据加速度是速度的变化率和二阶导数的定义可知；

2. 牛顿第一定律（理）：单个物体的系统，动量不变，质量不变，自然速度也不变；

3. 牛顿第二定律（理）：两个物体的系统，定义力为单个物体的动量变化率，因为质量不变，所以即为质量乘以速度变化率，那就是质量乘以加速度了；

4. 牛顿第三定律（理）：两个物体的系统，因为动量守恒，所以两个物体的动量变化等大反向，变化率也相同，即力等大反向。

以上数学结构和数学建模共同构成牛顿定律的完整数学模型。我们看到，它本质上是物体运动状态的描述和其变化规律的描述。理论发现，有M, X, V, A, P这个五元组就足够描述物体的运动状态了，而且P还是个纯衍生量。我们在这套体系下去计算引力，弹力，磁力等等，无非是发现各种情况下它们汇总的动量交换律罢了，而力和受力分析，是它们所有的桥梁。

本文是以动量守恒作为公理来把牛顿定律都看作定理的，而牛顿本人的著作《自然哲学的数学原理》自然是反过来以三定律为公理，去推导动量守恒等其他结论的，有兴趣可以再照着它的原稿用数学语言再写一遍。而从我们的推导可以看出，牛顿第二定律是个十足的规定式子，就像欧式空间中勾股定理基本上就是勾股定律一样，可见科学家数学家们，不是第一次在理论中夹带私货了。

好了，以上就是这段时间对牛顿定律的集中思考，再一次体现了数学模型思维对各种学科的结构能力，好不过瘾，下期见！

Reference

1.https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%AE%9A%E5%BE%8B

2.https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E8%B4%A8%E9%87%8F%E5%AE%88%E6%81%92%E5%AE%9A%E5%BE%8B

3.https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E5%8A%A8%E9%87%8F%E5%AE%88%E6%81%92%E5%AE%9A%E5%BE%8B#:~:text=%E5%8A%A8%E9%87%8F%E5%AE%88%E6%81%92%E5%AE%9A%E5%BE%8B%EF%BC%88Conservation%20of,%E7%BB%B4%E6%8C%81%E5%8E%9F%E6%9C%AC%E7%9A%84%E8%BF%90%E5%8A%A8%E7%8A%B6%E6%80%81%E3%80%82

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