力学概念 | 等强度概念的应用

fem178

发布于 2024-01-17 14:17:31

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发布于 2024-01-17 14:17:31

文章被收录于专栏：数值分析与有限元编程数值分析与有限元编程

已知一根高度为

30m

的桥墩，顶部有一轴向荷载

P=3000KN

，材料容重为

\gamma = 2.5KN/m^3

,许用压应力

[\sigma]=1MPa

。若按照等强度设计，即任何一个截面的压应力都等于许用应力，如图1所示，桥墩顶面的横截面面积为：

▲图1

A_0 \geq \frac {P}{[\sigma]}=3m^2

再来推导等强度桥墩沿着高度任意横截面的面积。如图1所示，设柱在距离顶端为处的截面积为

A(x)

，轴力为

F_N(x)

。在

x+dx

处的截面积为

A(x)+dA(x)

，轴力为

F_N(x)+dF_N(x)

，于是有

F_N(x) = A(x)[\sigma]

F_N(x)+dF_N(x) = A(x)[\sigma] + dA(x)[\sigma]

由微元段

的平衡条件

\sum F_X = 0,A(x)[\sigma] + \gamma A(x)dx-A(x)[\sigma] - dA(x)=0[\sigma]

化简得

\frac {dA(x)}{A(x) } = \frac {\gamma dx}{[\sigma] }

对上式两边进行积分得

\int_0^x \frac {dA(x)}{A(x) } = \int_0^x \frac {\gamma dx}{[\sigma] }

即

log \frac {A(x)}{A_0} = \frac {\gamma x}{[\sigma] }

其中，

A_0

为柱顶截面面积。于是，变截面桥墩中任一横截面面积的表达式为

A(x) = A_0e^{ \frac {\gamma x}{[\sigma] } }= 3e^{0.025x}

等强度桥墩的体积为

V = \int_0^{30} A(x)dx = 3 \int_0^{30}e^{0.025x}dx= 134m^3

重量为

G = V\gamma = 3350KN

如果按等截面设计，如图2a所示，应根据轴力最大的危险截面来设计。由其强度条件为

▲图2

\sigma_{max} = \frac {P}{A } + \gamma l \leq [\sigma]

可得到等直杆的横截面面积为

A \geq \frac {P}{[\sigma]-\gamma l} =12m^3

等截面桥墩的体积为

Al=360m^3

,总重为

9000KN

如果按照阶梯型设计桥墩的横截面，如图2b所示，将桥墩设计成三段高度相等的等直杆，分别可得到横截面的面积为

\begin{split} A_1&\geq \frac {P}{[\sigma]-\gamma l_1} = 4m^2 \\ A_2&\geq \frac {P+\gamma A_1l_1}{[\sigma]-\gamma l_2} = 5.33m^2 \\ A_3&\geq \frac {P+\gamma A_1l_1+\gamma A_2l_2}{[\sigma]-\gamma l_3} = 5.78m^2 \\ \end{split}

阶梯形桥墩的体积为

(A_1+A_2+A_3)l_1=151.1m^3

,总重为

3777.5KN

以上结果表明:等强度桥墩的重量最小，从节约材料的角度来看，等强度桥墩最为经济。其次是阶梯形，如果阶梯形杆的分段比较合理，同样能获得良好的经济效益。因此，工程上广泛采用阶梯形杆来代替工艺上比较复杂的等强度杆。比如建筑结构的竖向受力构件的截面积就是从基础到顶部不断缩小。

▲图3 天津117大厦巨柱截面变化

▲图4 某超高层巨柱型钢截面变化即各分区含钢量统计

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原始发表：2024-01-13，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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