6_机械臂运动学_刚体转动的描述
1. 方向余弦矩阵
如果在向量空间里再定义向量的长度和角度等概念必须定义内积，定义了内积的向量空间称为欧氏空间。
1.1 标准正交基
标准正交基也叫规范正交基。实际上，如果这些基向量互相垂直，就叫正交基，而且每个基向量的长度等于单位1的话，那么这个基就叫标准正交基。
1.2 二维空间标准正交基
其中
为基向量逆向旋转的角度。这正是单位向量圆的参数表示式。
对应旋转矩阵：
1.3 三维空间R3标准正交基
三维空间R3的标准正交基是由单位坐标向量组
在保持彼此的相对正交位置的同时进行全方位任意旋转，即可得到全部的标准正交基。显然，全部的标准正交基向量(无数的)的末端组成一个单位球面.
使用球坐标系的定义式，我们可以得到所有的三维空间R3的右手系标准正交基的数学表达式为:
其中 0≤θ ≤ π , 0≤ φ ≤2 π。
1.4 空间的旋转变换
平面和空间中的旋转变换是很常见的，我们在前面的例子里也多次谈到旋转矩阵，又比如工程中我们要模拟飞机在空中的前后、左右和上下的旋转动作等。因此，弄清旋转矩阵是很有意思的。
1.4.1 平面上的旋转变换
1. 平面上点的旋转变换
如图所示，平面上任意一点P（x,y）对应的向量oP（与原点o相连接得到），以逆时针方向绕原点在平面上旋转θ角，得到向量oP’，即点P（x,y）在平面上以逆时针方向绕原点旋转θ角，变化到点P’(x’,y’)
如果我们记这个变换为Γ (大写的伽马)，那么有oP’ = Γ oP. 实际上这个点的旋转变换Γ 就是前面我们介绍的旋转矩阵
,即点（或向量）的旋转变换为
=
2平面上坐标的旋转变换
如果将坐标系{xoy}也以逆时针方向绕原点旋转θ角，会得到新的坐标系｛x'oy'｝,如图所示。旧坐标轴上的基本单位向量i和j变为新坐标轴上的基本单位向量i'和j', i' = Γ i , j' = Γ j。实际上，此时的旋转效果是最终对坐标系｛xoy｝和向量 oP一起做了旋转θ角的操作.
考察基本单位向量的变化，容易检验i'关于旧坐标轴的坐标为（ cosθ,sinθ ）,即
i' = icosθ + jsinθ
同理，有
j' = icos( θ +π/2) + jsin( θ +π/2)
= -isinθ + jcosθ
即
=
式中,
称为坐标系（单位向量）旋转变换矩阵，记为T.
我们看到点的旋转矩阵和坐标系的同样旋转的旋转矩阵T不同，容易验证，它们互为转置矩阵.另外，也可以验证它们互为逆矩阵.
1.4.2 空间的旋转变换
1 方向余弦矩阵(Direction Cosine Matrix)
在解析几何里，两个向量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦.在解析几何里,一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。
方向余弦矩阵：是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系。
2 三维空间旋转变换
三维空间的情况完全类似，如图所示，将空间中任意一点P(x,y,z)对应的向量oP(与原点o相连接得到)以逆时针方向绕某一个直线L(过原点)旋转θ角，得到向量oP’，即点P(x,y,z)变化到点P’(x’,y’,z’).
在开始的时候,如果将整个空间作为一个刚体绕直线ℓ旋转θ角，那么点P(x,y,z)当然变化到点P’(x’,y’,z’).而旧坐标系{oxyz}变换到新的坐标系{x’,y’,z’},旧坐标轴上的基本单位向量i,j,k变为新坐标轴上的基本单位向量i’、j’、k’.
因此，点P’关于新坐标系｛ox’y’z’｝的位置关系恰如点P关于旧坐标系{oxyz} 的位置关系,
从而有：
oP’ = x’i + y’j +z’k = xi’ + yj’ + zk’
若令x’、y’、z’，关于坐标系｛oxyz｝的方向余弦分别是a1、b1、c1,a2、b2、c2,和a3、b3、c3,
那么坐标系轴的旋转变换为
2. 刚体在空间的转动(结论)
由之前刚体的运动可知，刚体在三维空间一般运动有6个自由度。而一般运动可以分解为平动和定点转动的组合.平动是3个自由度，定点转动是3个自由度.而刚体定点转动可以看做是笛卡尔坐标系绕原点旋转(不共原点的坐标系可通过平动达到同一原点)，而这种旋转关系可以用3×3矩阵描述，因为一个矩阵对应一种变换。但9个数的矩阵却只有3个自由度。定点转动进一步可以分解为绕坐标轴的3个轴转动。
机器人学中对转动称为姿态，平动称为位置。3×3旋转矩阵描述了坐标系的旋转(转动)的关系，即描述了惯性坐标系和本体坐标系的旋转(转动)关系，即
x ＝ Ax′
令x′和x 表示惯性坐标系和本体坐标系中的矢量,则旋转矩阵A完全描述了这两个坐标系的相对取向.该矩阵包含三个独立的参量,原则上有很多选法.人们可以通过按照特定次序的三次相对转动来完成从惯性坐标系到本体坐标系的变换,而欧拉角就是这三次变换中相继转动的角度．