算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的,即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度。
下面的Func1中++count语句总共执行了多少次?
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
Func1 的执行的基本操作次数 :N^2 + 2*N + 10
实际中我们计算时间复杂度时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。 推导大O阶方法:
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为:O(N^2);
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:
最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况:任意输入规模的期望运行次数 最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况:1次找到 最坏情况:N次找到 平均情况:N/2次找到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
(1)计算Func2的时间复杂度?
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
在for循环里面循环了2N次,即执行了2N次操作,while循环执行了10次;N前的系数和10可忽略. 所以时间复杂度为: O(N)
(2)计算Func3的时间复杂度?
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
因为有两次for循环,第一个执行了M次,第二执行了N次,所以时间复杂度为:O(M+N)
(3) 计算Func4的时间复杂度?
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
在一层for循环中执行了100次,即常数次,所以时间复杂度为:O(1) O(1)不是代表1次,而是表示为常数次;
(4)计算strchr的时间复杂度? const char * strchr ( const char * str, int character );
//strchr 类似与以下的循环:
while (*str)
{
if (*str == character)
return str;
else
str++;
}
因为这个循环是在字符串中找到指定的字符,而且不知道这个字符串的长度,所以最坏的情况是遍历完整个字符串,假设字符串的长度为N,它的时间复杂度就是:O(N)
(5) 计算BubbleSort(冒泡排序)的时间复杂度?
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
冒泡排序的思想是需要两次循环,一次是确定趟数,一次是确定比较的次数,在每一趟里面进行比较,所以是在for循环里面嵌套for循环,所以时间复杂度为:O(N^2)
(6)计算BinarySearch(二分查找法)的时间复杂度?
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
// [begin, end]:begin和end是左闭右闭区间,因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
二分查找的思想是,每次折半寻找需要查找的数,假设mid为折半的数,要找的数比mid小,就把右边界更新成mid,继续折半更新mid;假设有N个数,折半x次,即执行了x次:
N/2/2/2/2… = 1; 那么N = 2^x 所以x = logN(默认以2为底) 所以时间复杂度为:O(logN)
(7)计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
因为一共递归了N次,所以执行了N次操作,时间复杂度为:O(N);
若在以上递归条件下加一层循环:
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
//......;
}
return Fac(N - 1) * N;
}
在每一次进行递归的时候,都要执行N次循环,N是随着递归的变化而变化的,所以时间复杂度为:O(N^2)
(8)计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
如:
(1)计算BubbleSort的空间复杂度?
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
只有常量个变量,所以空间复杂度为:O(1)
(2)计算Fibonacci的空间复杂度?
返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}
因为用malloc开辟了n+1个空间,所以空间复杂度为:O(N)
(3)计算阶乘递归Fac的空间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
因为递归了N次,每递归一次就开辟一个栈帧,所以空间复杂度为:O(N)
(4)计算斐波那契递归Fib的空间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
递归的空间复杂度是在意这个递归有多深,至于在某一层中有多少个递归无所谓,因为在递归过程中先创建的是第一个函数的栈帧;
如下图,Fib(N)先创建的是Fib(N-1)的栈帧,然后在Fib(N-1)中,创建Fib(N-2)的栈帧,由此类推,一直到Fib(3),再到Fib(2),当Fib(2)可以直接返回时,先销毁Fib(2),然后再创建Fib(1)的栈帧使用,可以理解为Fib(2)和Fib(1)使用同一个空间;同理Fib(3)和Fib(2)也是使用同一个空间;
所以,递归的空间复杂度只是看这个递归有多深;所以斐波那契递归Fib的空间复杂度为:O(N)