【数据结构】二叉树
二叉树
一、二叉树的链式结构实现
二叉树链式结构的简单实现： 此处为了快速创建一棵二叉树，只是简单创建每一个节点然后把它们连接起来；
示例代码：
typedef int BTDataType;
//节点的结构体
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
BTDataType data;
}BTNode;
//创建新的节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
assert(newnode);
newnode->data = x;
newnode->left = NULL;
newnode->right = NULL;
return newnode;
}
//创建二叉树
BTNode* CreatBinaryTree()
{
BTNode* node1 = BuyNode(1);
BTNode* node2 = BuyNode(2);
BTNode* node3 = BuyNode(4);
BTNode* node4 = BuyNode(3);
BTNode* node5 = BuyNode(5);
BTNode* node6 = BuyNode(6);
node1->left = node2;
node1->right = node3;
node2->left = node4;
node3->left = node5;
node3->right = node6;
return node1;
}以上代码创建的二叉树如图：
二、二叉树的遍历
所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。
1. 二叉树的前序遍历
二叉树的前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树，即按照根 - 左子树 - 右子树的顺序遍历；示例代码：
//前序遍历
void PrevOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return ;
}
printf("%d ", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}代码通过子问题，先打印根的数据，再将当前根的左子树进行递归，最后对右子树递归，结束条件为空，即完成了 根 - 左子树 - 右子树 的顺序访问，若以上面我们创建的二叉树为例，如图为运行结果，假设 N 为空：
遍历的过程我们可以分解为如下，假设 N 为空；
以下是以 1 为根的分解，左子树和右子树如下，
再往下分解如下：
所以遍历的顺序图如下，蓝色数字为访问节点的顺序：
先访问 1 的根节点，然后访问左子树，递归图解：
最后访问右子树，递归图解：
2. 二叉树的中序遍历
二叉树的中序遍历，与前序的区别是，中序遍历先访问左子树，再访问根，最后访问右子树，即按照左子树 - 根 - 右子树的顺序遍历；示例代码：
//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d ", root->data);
InOrder(root->right);
}若以上面我们创建的二叉树为例，以下就是中序遍历的结果：
3. 二叉树的后序遍历
二叉树的后序遍历，与前序和中序相似，后序是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根；按照左子树 - 右子树 - 根的顺序遍历；示例代码：
//后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
PostOrder(root->left);
PostOrder(root->right);
printf("%d ", root->data);
}若以上面我们创建的二叉树为例，以下就是后序遍历的结果：
4. 二叉树的层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
按如图顺序遍历为层序遍历：
层序遍历的思路是用队列实现，每打印出一个根的数据，就将这个根的左节点和右节点入队，如下图，使用上面我们创建的二叉树，再创建一个队列 q ，队列中存的是每个树的节点：
如果队列为空，根就进队列：
然后出队列，出队列后，根2和根4入队：
2出队，3和NULL入队：
最后层序遍历的结果如下：
代码示例：
我们使用以前实现的队列，将队列中每个节点的指针类型改为 BTNode* ：
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;
//每个节点的结构体
typedef struct QueueNode
{
struct QueueNode* next;
QDataType data;
}QNode;
//队列的结构体
typedef struct Queue
{
QNode* phead;
QNode* ptail;
int size;
}Queue;层序遍历的示例代码：
//层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
//用队列实现层序遍历
Queue q;
QueueInit(&q);
//节点不为空，就入队
if(root)
QueuePush(&q, root);
//每次出队之前，将队头的数据记录下来，然后出队，打印队头的值，再将出队的根的左右子树入队
while (!QIsEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
printf("%d ", front->data);
if(front->left)
QueuePush(&q, front->left);
if(front->right)
QueuePush(&q, front->right);
}
printf("\n");
QueueDestroy(&q);
}假设不打印空，运行的结果如下：
三、求二叉树的常见问题
1. 求二叉树节点个数
求二叉树节点个数化成子问题，左子树的节点个数加上右子树的节点个数加上自身节点；结束条件为空：
//二叉树节点个数
int BTreeSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
return BTreeSize(root->left) + BTreeSize(root->right) + 1;
}若以上面创建的树为例子，树的节点个数以及运行结果如下：
2. 求二叉树叶子节点个数
求二叉树叶子节点个数化成子问题，将根的左子树的叶子数加上右子树的叶子数，结束条件为空或者根的左子树和右子树都为空，就是叶子，返回1；
//求叶子节点的个数
int BTreeLeafSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
return 1;
return BTreeLeafSize(root->left) + BTreeLeafSize(root->right);
}运行结果如下：
3. 求二叉树的高度
求二叉树的高度化成子问题，取根的左子树和右子树中高度较高的那个，返回的是较高的那个再加一；结束条件为空；注意这里需要记录左子树和右子树的高度，不记录数据的话每次递归完会丢失数据，还要重新找数据，时间复杂度会翻呈指数形式的倍率；
int BTreeHeight(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
int leftHeight = BTreeHeight(root->left);
int rightHeight = BTreeHeight(root->right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}运行结果如下：
4. 求二叉树第k层结点个数
求二叉树第k层结点个数化成子问题，求当前根的左子树的 k - 1 层加上右子树的 k - 1 层的节点个数；结束条件有两个，如果为空，返回0；如果 k == 1，表示就是第 k 层，返回1；
int BTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
assert(k > 0);
if (root == NULL)
return 0;
if (k == 1)
return 1;
return BTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}假设求第一层的节点，运行结果如下：
5. 二叉树查找值为x的节点
二叉树查找值为x的节点化成子问题，先判断当前的根是否是值为 x 的节点，若不是，就找在左子树中去找，在左子树中找不到，再去右子树找；结束条件为空或者找到值为x的节点；
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
if (root == NULL)
return NULL;
if (root->data == x)
return root;
BTNode* r1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (r1)
return r1;
BTNode* r2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (r2)
return r2;
return NULL;
}假设查找值为 6 的节点，运行结果如下：
6. 判断二叉树是否是完全二叉树
判断二叉树是否是完全二叉树，思路是用层序遍历的思维，完全二叉树是层序遍历连续的结果，如果遇到空后，队列中的数据还有有效的数据，说明不是完全二叉树；如果是完全二叉树，队列中应该全部是空；
//判断二叉树是否是完全二叉树
bool BTreeComplete(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root)
QueuePush(&q, root);
//出数据，遇到空就停止出
while (!QIsEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front == NULL)
break;
QueuePush(&q, front->left);
QueuePush(&q, front->right);
}
//判断队列里面是否还有数据，如果还有数据说明不是完全二叉树
//完全二叉树是层序遍历连续的结果
while (!QIsEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front)
{
QueueDestroy(&q);
return false;
}
}
QueueDestroy(&q);
return true;
}假设false为0，true为1，运行结果为：
7. 给定前序遍历创建一颗二叉树
给定前序遍历创建一颗二叉树（假设0为空），思路是用前序遍历的思路，先创建根，再创建左子树，最后创建右子树；假设遍历的前序中 0 为空，参考代码如下：
//给定前序遍历，创建一棵树
BTNode* CreatTree(BTDataType* a, int* pi)
{
if (a[*pi] == 0)
{
(*pi)++;
return NULL;
}
BTNode* root = BuyNode(a[(*pi)++]);
root->left = CreatTree(a, pi);
root->right = CreatTree(a, pi);
//返回根
return root;
}
int main()
{
int arr[] = { 1,2,3,0,0,0,4,5,0,0,6,0,0 };
int i = 0;
BTNode* root = CreatTree(arr, &i);
PrevOrder(root);
}
8. 二叉树销毁
二叉树销毁是按照后序的顺序，先销毁左子树，再销毁右子树，最后销毁根；
// 二叉树销毁
void BTreeDestory(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return;
BTreeDestory(root->left);
BTreeDestory(root->right);
free(root);
}腾讯云开发者
