时间序列平稳性检验方法（Python）

Python数据科学

发布于 2024-03-05 13:29:36

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发布于 2024-03-05 13:29:36

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作者：东哥起飞，来源：Python数据科学

当我们拿到时序数据后，首先要进行平稳性和纯随机性的检验，这两个重要的检验是时间序列的预处理。根据检验的结果可以判断出序列属于什么类型，然后对症下药使用相应的分析方法。

本篇讲解平稳性的检验方法。平稳性检验方法可分为两个类，一种是比较直观的画图，根据 ACF 和 PACF 的可视化图判断时序平稳性；另一种是量化的方法，通过假设检验计算结果来准确判断。

自相关图可视化

该方法主要通过 ACF 和 PACF 自相关可视化图来辅助判断，较为常用。

关于自相关的概念可以参考这篇时间序列 ACF 和 PACF 理解、代码、可视化

先抛出判断标准：平稳序列通常具有短期相关性，即随着滞后期数

增加，平稳序列的自相关系数会很快地向零衰减，而非平稳时序的自相关系数向零衰减的速度比较慢。

下面我直接通过Python代码可视化的案例说明如何通过自相关辅助判断，分别模拟出了白噪声、非白噪声平稳时序、非平稳时序、随机游走四种时序。

import numpy as np
import pandas as pd
from matplotlib import pyplot as plt
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

# 白噪声
white_noise = np.random.standard_normal(size=500)

# 随机游走
np.random.seed(6)
def random_walk():
    steps = np.random.standard_normal(size=500)
    steps[0] = 0
    walk = np.cumsum(steps)
    return walk

# 模拟时序
def simulate_process(is_stationary:bool)->np.array:
    np.random.seed(42)
    process=np.empty(100)

    if is_stationary:
        alpha=0.5
        process[0]=0
    else:
        alpha=1
        process[0]=10
    for i in range(100):
        if i+1<100:
            process[i+1]=alpha*process[i]+np.random.standard_normal()
        else:
            break
    return process

# 非平稳时序
non_stationary=simulate_process(False)

# 非白噪声的平稳时序
yes_stationary=simulate_process(True)


fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2, figsize=(15, 8))
# fig.subplots_adjust(hspace=0.5)
ax1.plot(white_noise)
ax1.set_title('white_noise')
ax2.plot(random_walk())
ax2.set_title('random_walk')
ax3.plot(yes_stationary)
ax3.set_title('yes_stationary')
ax4.plot(non_stationary)
ax4.set_title('non_stationary')
plt.show()

通过 statsmodels 分别绘制4个时序的 ACF 和 PACF 图。

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

fig, ax = plt.subplots(4, 2, figsize=(15, 12))
fig.subplots_adjust(hspace=0.5)

plot_acf(white_noise, lags=40, ax=ax[0][0])
ax[0][0].set_title('ACF(white_noise)')
plot_pacf(white_noise, lags=40, ax=ax[0][1])
ax[0][1].set_title('PACF(white_noise)')

plot_acf(random_walk(), lags=40, ax=ax[1][0])
ax[1][0].set_title('ACF(random_walk)')
plot_pacf(random_walk(), lags=40, ax=ax[1][1])
ax[1][1].set_title('PACF(random_walk)')

plot_acf(yes_stationary, lags=40, ax=ax[2][0])
ax[2][0].set_title('ACF(yes_stationary)')
plot_pacf(yes_stationary, lags=40, ax=ax[2][1])
ax[2][1].set_title('PACF(yes_stationary)')

plot_acf(non_stationary, lags=40, ax=ax[3][0])
ax[3][0].set_title('ACF(non_stationary)')
plot_pacf(non_stationary, lags=40, ax=ax[3][1])
ax[3][1].set_title('PACF(non_stationary)')
plt.figure(figsize=(20, 6))
plt.show()

白噪声：0时刻ACF为1，相当于自己和自己本身的相关性，这个不难理解，而非0时刻的滞后期ACF迅速退化到0附近，PACF 也是同样的形态，是典型的平稳序列，可见白噪声0时刻与滞后期时序几乎没有相关性，即无法根据历史数据预测未来。

随机游走：0时刻ACF为1，滞后期的ACF整体成下降趋势，但退化非常缓慢，0时刻与滞后40期的相关性仍有0.8左右。由于随机游走每一次的变化都是在上一次基础上累加的，所以相关性很强，滞后k期的ACF退化的非常慢。而PACF图中，滞后1期与0时刻相关性均为1，剩余滞后期迅速退化为0附近。这是因为滞后1期时序是在0时刻基础上随机的，相关性极高，而剩余滞后期时序考虑PACF概念（排除了其他滞后期时序的干扰，仅考虑自身与0时刻的相关性），那就变成随机的白噪声了。

非白噪声平稳时序： 正常平稳时序具体短期相关性的特点，ACF图中相关性在滞后1期以后降到0附近并保持在2倍标准差内窄幅震荡，这是随机性很强的平稳时序特征。与白噪声的区别是，白噪声虽也是平稳时序但从0时刻后就迅速降到0，是毫无相关性的。

非平稳时序： ACF相关性下降非常缓慢，很很长的滞后期里，自相关系数一直为正，随后又一直为负，显示出明显的三角对称性，这是具有单调趋势的非平稳序列的典型特征。

以上是根据自相关图特征进行的判断，关于这几种时序的概念和介绍可以参考：时间序列平稳性、白噪声、随机游走

自相关图的判断方法可以总结为以下几个特点。

单调性：ACF衰减到0的速度很慢，而且可能一直为正，或一直为负，或先正后负，或先负后正。
周期性：ACF呈正弦波动规律。
平稳性：ACF衰减到0的速度很快，并且十分靠近0，并控制在2倍标准差内。

假设检验

自相关图判断时序是否平稳的缺点是会带有主观色彩，所以一般还会通过假设检验的量化方法进行验证，假设检验的方法更为准确。

目前假设检验的主流方法是单位根检验，检验序列中是否存在单位根，如存在，则为平稳时序，如存在则为平稳时序。

什么是单位根检验？

我们看下面这个模型，如果将

\beta_1

去掉，就等于随机游走序列。

y_t = \beta_1 y_{t-1} + \varepsilon_t

，其中

\{\varepsilon_t\}

为白噪声。

现在

\beta_1

的不同取值会直接影响到该序列是否平稳，有以下几种情况：

|\beta_1|<1

：随着

增大

y_t

最终会收敛，长期来看

\{y_t\}

是平稳的

\beta_1=1

：

\{y_t\}

是非平稳的随机游走序列

\beta_1>1

：

\{y_t\}

是爆炸式增长的更非平稳序列

以上第二种情况

\beta_1=1

就是所谓的单位根，是差分方程正好落在单位圆上的特征根

\lambda=1

。

单位根检验就是检验差分方程的特征方程的各个特征根

\lambda

是均小于1，还是存在等于1的情况。由于日常数据中基本不存在单位根均大于1的情况，所以只需检验单位根小于1还是等于1。

ADF检验

ADF检验是目前最常用的单位根假设检验方法，它对DF检验进行了修正，由仅考虑一阶自回归的DF检验拓展到了适用于高阶自回归的平稳性检验。其定义如下：

对任一

AR(p)

过程：

x_t=\phi_1x_{t-1}+...+\phi_px_{t-p}+\varepsilon_t

它的特征方程为：

\lambda^p-\phi_1\lambda^{p-1}-...-\phi_p=0

如果该方程所有特征根都在单位圆内，即

|\phi_i|<1，i=1,2,...,p

，则序列

\{x_t\}

平稳。

如果有一个特征根存在，即

\lambda_i=1

，则：

\lambda^p-\phi_1\lambda^{p-1}-...-\phi_p=0

\Longrightarrow1-\phi_{1}-...-\phi_{p}=0

\Longrightarrow \phi_{1}+\phi_{2}+...+\phi_{p}=1

设

\rho=\phi_{1}+\phi_{2}+...+\phi_{p}-1

因此假设条件为：

原假设：

H_0:\rho=0

，即存在单位根，假设时序是非平稳的（因为生活中大多数的时序都是非平稳的，所以原假设为非平稳）

备择假设：

H_1:\rho<0

，即不存在单位根

下面使用arch包实现一个ADF检验过程。首先构造一个非平稳时序。

# 构建一个非平稳时序
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

np.random.seed(1)

y = np.random.standard_normal(size=100)
for i in range(1, len(y)):
    y[i] = 1 + 0.2*i + y[i]

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(y)
plt.show()

from arch.unitroot import ADF
# 非趋势项非截距项平稳性检验
adf = ADF(y)
print(adf.summary().as_text())

# 趋势平稳检验
adf = ADF(y,trend = 'ct')
print(adf.summary().as_text())

arch包可以设置参数trend参数，根据要检验的平稳类型可以选择不包含趋势项n、包含截距项c、包含截距项和趋势项ct、包含截距项和趋势项和二次趋势项ctt，默认值为c。

第一次ADF检验trend为默认值c包含截距项，即检验含截距项是否平稳，

p=0.755>0.05

，不能拒绝原假设，故序列非平稳。

第一次ADF检验trend为ct包含截距项和趋势项，即验证含截距项和趋势项是否平稳，

p=0<0.05

，拒绝原假设，序列为趋势项平稳。

PP检验

ADF检验主要适用于方差齐性场合，对于异方差序列的平稳性检验效果不佳。Phillips和Perron(1988) 提出了一种非参数检验方法，对ADF检验进行了非参数修正，既可适用于异方差场合，又服从ADF检验统计量极限分布。假设条件一样，与ADF用法相似，可作为ADF检验的补充。

代码实现如下，仍用前面构造的非平稳时序为例。

import numpy as np
from arch.unitroot import PhillipsPerron
# 非趋势项非截距项平稳性检验
pp = PhillipsPerron(y)
print(pp.summary().as_text())
# 趋势平稳检验
pp = PhillipsPerron(y,trend = 'ct')
print(pp.summary().as_text())

第一次PP检验trend为默认值c包含截距项，即检验含截距项时序是否平稳，

p=0.951>0.05

，不能拒绝原假设，故序列非平稳。

第一次PP检验trend为ct包含截距项和趋势项，即验证含截距项和趋势项是否平稳，

p=0<0.05

，拒绝原假设，序列为趋势项平稳。

综合ADF检验和PP检验两种方法，以上构造的时序可以判定为趋势平稳的。

除了以上两种检验方法，还有DF-GLS检验、KPSS检验、Zivot-Andrews检验、Variance Ratio检验等方法，不做详细介绍，代码实现同样可以通过arch包调用。

参考链接 [1].《应用时间序列分析》王燕 [2].https://mp.weixin.qq.com/s/4M8ayYaghstPFURKybvARA [3].https://mp.weixin.qq.com/s/vgzAbeLWDdRv2YbRXydg8g [4].https://github.com/bashtage/arch [5].https://mp.weixin.qq.com/s/QVziYRaNAqiHDqNTR60Fsw

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