离散数学题目收集整理练习（期末过关进度50%）

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前言： 身为大学生考前复习一定十分痛苦，你有没有过以下这些经历： 1.啊明天要考试了，关键这知识点它不进脑子啊。 2.小朋友，你是否有很多问号，为什么，快考试了你还啥也不会。 3.你们复习的时候，也是学着学着，手机就自动跳到手里了吗？ 4.真正的大学生敢于直面崭新的课本。 5.睡也不敢睡，学也不想学。 6.监考老师+地理位置+附近战友友善度=考试分数。 🍓🍓当然以上都是开些玩笑，看看下面这些题，它可以让零基础未开始学习的你以最快的速度突击期末考试，毕竟把考题看会了，考试也就可以随随便便的通过了。

​

🍓第四十一题

解析

可以使用一阶逻辑谓词公式表示为：

∀x (M(x) → Mortal(x))

其中： M(x) 表示 x 是人 Mortal(x) 表示 x 是要死的 ∀x 表示对于所有个体 x

这个公式可以理解为：对于所有的人 x，如果 x 是人，则 x 是要死的。

🍓第四十二题

解析

"当且仅当"通常表示双向逻辑连接，它使用双箭头 "↔" 表示。

根据真值表判断即可，选A。

🍓第四十三题

解析

根据定义的二元关系 R = {<s, t> | s, t ∈ P(A) ∧ (|s| = |t|)}，我们可以得到以下等价类：

[∅]R: 这是 A 的幂集中基数为 0 的子集（空集）的等价类。 [{1}]R: 这是 A 的幂集中基数为 1 的子集的等价类，只有一个元素的子集。 [{1, 2}]R: 这是 A 的幂集中基数为 2 的子集的等价类，只有两个元素的子集。 [{1, 2, 3}]R: 这是 A 的幂集中基数为 3 的子集的等价类，只有三个元素的子集。 [{1, 2, 3, 4}]R: 这是 A 的幂集中基数为 4 的子集（全集 A 本身）的等价类。

因此，P(A)/R 的划分结果为 {[∅]R, [{1}]R, [{1, 2}]R, [{1, 2, 3}]R, [{1, 2, 3, 4}]R}。

🍓第四十四题

解析

根据谓词公式 "x(P(x)ÚQ(x))"，其中 P(x) 表示 x 是奇数，Q(x) 表示 x 是偶数，我们需要确定该公式在哪个个体域中为真。

在这种情况下，我们需要考虑自然数作为个体域。自然数是正整数集（包括 1, 2, 3, 4, ...）。

在自然数个体域中，谓词公式 "x(P(x)ÚQ(x))" 为真，因为每个自然数要么是奇数，要么是偶数。所以，无论 x 取值为哪个自然数，至少满足 P(x) 或 Q(x) 中的一个条件。

因此，正确答案是谓词公式 "x(P(x)ÚQ(x))" 在自然数个体域中为真。

🍓第四十五题

解析

根据给定的函数定义 f(x) = (x) mod 3，其中 x 是自然数集 N，表示 x 除以 3 的余数。

我们可以分别考虑函数 f 的性质：

1. 单射（Injective）：如果对于不同的自然数 x1 和 x2，当 f(x1) = f(x2) 时，必须有 x1 = x2。换句话说，不同的自然数映射到不同的函数值。
2. 满射（Surjective）：如果对于任意的自然数 y，存在自然数 x，使得 f(x) = y。换句话说，函数 f 的值域覆盖了整个目标域。
3. 双射（Bijective）：如果函数既是单射又是满射，即对于任意自然数 x1 和 x2，当 f(x1) = f(x2) 时必须有 x1 = x2，并且函数 f 的值域覆盖了整个目标域。

现在来分析函数 f(x) = (x) mod 3 的性质：

对于不同的自然数 x1 和 x2，如果它们除以 3 得到的余数相等，即 f(x1) = f(x2)，则必须有 x1 = x2。因为 x1 和 x2 在除以 3 后得到相同的余数，它们本身必须相等。所以函数 f 是单射。

然而，考虑函数 f 的值域。函数 f(x) 的结果只能是 0、1 或 2，因为这是除以 3 的余数的可能取值。然而，函数 f 不包括所有自然数，因为不存在自然数 x，使得 f(x) = 3。所以函数 f 不是满射。

综上所述，函数 f(x) = (x) mod 3 是一个单射（单射函数），但不是满射（非满射函数）。因此，答案是 D、既非单射又非满射。

🍓第四十六题

解析

要判断哪个等式不正确，我们可以逐个检查每个选项。

A、(A∪B)-C = (A-C)∪(B-C) 这是集合的差集和并集的分配律，因此该等式是正确的。

B、A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C) 这是集合的差集和交集的分配律，因此该等式是正确的。

C、A⊕B = (A∪B) - (A∩B) 这是对称差的定义，即 A 和 B 的并集减去它们的交集，因此该等式是正确的。

D、A∪(B⊕C) = (A∪B)⊕(A∪C) 这个等式不正确。左侧表示 A 和 B⊕C 的并集，即 A 和 B、C 的对称差的并集。而右侧表示 A∪B 和 A∪C 的对称差。这两个集合是不同的，因为在左侧的等式中，B 和 C 的对称差被并入了 A∪B 的对称差。

因此，选项 D、A∪(B⊕C) = (A∪B)⊕(A∪C) 不正确。

🍓第四十七题

解析

关于皮亚诺后继函数，正确的说法是：

A、单射（Injective）

皮亚诺后继函数是单射的，也被称为一对一函数。它表示每个自然数都有唯一的后继。

B、满射（Surjective）

皮亚诺后继函数不是满射的，也就是说，它并不覆盖整个目标域。后继函数无法将自然数 0 映射到其他自然数，因为 0 没有后继。

C、双射（Bijective）

皮亚诺后继函数不是双射的，因为它不是满射。

D、不是函数

这个说法是不正确的。皮亚诺后继函数是定义在自然数集上的函数，它将每个自然数映射到它的后继。

综上所述，正确的说法是 A、单射。皮亚诺后继函数是一个单射函数。

🍓第四十八题

解析

基本积指的是两个命题的合取（逻辑与）运算。在给定的选项中，只有选项 B 和选项 D 不是基本积。

选项 A：Q 是单个命题，不涉及合取运算，因此不是基本积。

选项 C：¬Q∧P∧Q 包含了多个逻辑运算符，不仅仅是合取运算，因此不是基本积。

选项 B：P∨Q 是命题 P 和 Q 的析取（逻辑或）运算，不是基本积。

选项 D：Q∧P∧Q 包含了多个合取运算符，不仅仅是两个命题的合取，因此不是基本积。

因此，正确答案是选项 B、P∨Q 和选项 D、Q∧P∧Q 不是基本积。

知识点：基本积

基本积是逻辑运算中的一种，也称为合取运算或逻辑与。它用于组合两个命题，结果为真仅当这两个命题都为真。

如果有两个命题 P 和 Q，它们的基本积表示为 P ∧ Q。当 P 和 Q 都为真时，P ∧ Q 的结果为真；只要有一个命题为假，P ∧ Q 的结果就为假。

基本积的操作可以看作是将两个命题的真假情况进行合并，只有在两个命题都为真时，结果才为真。这可以用一个真值表来表示：

P     Q     P ∧ Q
-----------------
真    真     真
真    假     假
假    真     假
假    假     假

在逻辑推理和命题逻辑中，基本积常用于构建复杂的命题，进行推导和分析。它是逻辑运算中的重要组成部分，与逻辑或、否定等运算符一起构成了命题逻辑的基本工具。

需要注意的是，基本积是两个命题的合取，而不是命题中的符号。在选项中，如果命题是经过其他逻辑运算（如否定、析取）组合而成的，那么它们不属于基本积。

🍓第四十九题

解析

首先，"f°g是满射的"表示函数f°g是一个满射函数，也就是说f°g的值域等于它的陪域。

接下来，我们来看选项中的各个陈述：

A. f 是满射的：这个选项没有直接的证据来支持。题目中只提到了f°g是满射的，并没有提到f本身是满射的。

B. g 是满射的：这个选项也没有直接的证据来支持。虽然题目中提到了f°g是满射的，但我们不能得出结论说g本身是满射的。

C. f 是满射的，g也是满射的：这个选项也没有直接的证据来支持。虽然题目中提到了f°g是满射的，但我们不能确定f和g分别是满射的。

D. f 不是满射的，g也不是满射的：这个选项与题目中的条件"f°g是满射的"是矛盾的。如果f不是满射的或者g不是满射的，那么f°g也不会是满射的。

因此，根据给定的条件，唯一可以得出的结论是选项A，即"f 是满射的"。

🌸单选题结束大家休息一下，即将进入多选题！

🍓结语

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